文档介绍：(理解等比数列的概念/掌握等比数列的通项公式/与前n项和公式/了解等比数列与指数函数的关系)
等比数列及其前n项和
:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于常数,;公比通常用字母q表示(q≠0),即: =q(n≥2,n∈N).
2. 等比数列的通项公式:an=a1·qn-1;an=am·qn-m(a1·q≠0)
提示:等比数列从定义到通项公式的推导和形式都可以看作是等差数列的运算升级.
同一个
公比
:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项.
提示:等比数列的前n项和公式的推导使用的是“错位相减法”,在使用公式时要判断公比q≠1,或q=1.
思考:是否存在既是等差又是等比数列的数列?
提示:存在,可以证明既是等差又是等比数列的数列一定是非零常数列.
:3,9…,2 187,以下结论正确的是( )
,也不是等比数列
,但不是等比数列
,但可能是等比数列
,也可能是等比数列
解析:由前2项可设通项an=6n-3和an=3n,代入检验即可.
答案:D
2.“b= ”是“a、b、c成等比数列”的( )
答案:D
{an}中,a3= ,S3= ,则q=________.
即2q2-q-1=(2q+1)(q-1)=0,∴q=- 或q=1.
答案:- 或1
4. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,
则{an}的公比为________.
解析:根据已知条件4S2=S1+3S3,即4(a1+a1·q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),整理得:3q2-q=0,又q≠0.∴q= .
答案:
1. 对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问题进行,在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用.
.
【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=1,S8=17,
求{an}的通项公式.
解答:解法一:在等比数列{an}中,由S4=1,S8=17,则q≠1,
因此
②÷①得q4+1=17,则q4=16,
∴q=2,或q=-2,由q=2代入①得a1= ,
由q=-2代入①得a1=- ,所以数列{an}的通项公式为an= ·2n-1
或an=(- )·(-2)n-1.
解法二:q4= =16,则q=2,或q=-=1,
当q=2时,由a1(1+q+q2+q3)=1得:a1= ,因此an=a1qn-1= ;
当q=-2时,由a1(1+q+q2+q3)=1得:a1=- .因此an=a1qn-1=-