文档介绍：1
第八章整数规划
§1 整数规划的图解法
§2 整数规划的计算机求解
§3 整数规划的应用
§4 整数规划的分枝定界法
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第八章整数规划
求整数解的线性规划问题,不是用四舍五入法或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的,而要用整数规划的方法加以解决。
在整数规划中,如果所有的变量都为非负整数,则称为纯整数规划问题;如果有一部分变量为负整数,则称之为混合整数规划问题。在整数规划中,如果变量的取值只限于0和1,这样的变量我们称之为0-1变量。在纯整数规划和混合整数规划问题中,如果所有的变量都为0-1变量,则称之为0-1规划。
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§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。
甲种货物至多托运4件,问两种货物各托运多少件,可使获得利润最大。
解:设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数,建立模型
目标函数: Max z = 2x1 +3 x2
约束条件: .
195 x1 + 273 x2 ≤1365
4 x1 + 40 x2 ≤140
x1 ≤4
x1,x2 ≥ 0 为整数。
如果去掉最后一个约束,就是一个线性规划问题。利用图解法,
货物
每件体积
(立方英尺)
每件重量
(百千克)
每件利润
(百元)
甲
乙
195
273
4
40
2
3
托运限制
1365
140
4
得到线性规划的最优解为x1=, x2=,。
由图表可看出,整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1:任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目
标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值;任何求最小目
标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目标函数值大于或等于相
应的线性规划的最小目标函数值。
1
2
3
4
1
2
3
2x1+3x2 =
x1
x2
2x1+3x2 =14
2x1+3x2 =6
§1 整数规划的图解法
§1 整数规划的图解法
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例2:
Max z = 3x1 + x2 + 3x3
.
-x1 + 2x2 + x3 ≤ 4
4x2 -3x3 ≤2
x1 -3x2 + 2x3 ≤3
x1,x2,x3 ≥ 0 为整数
例3:
Max z = 3x1 + x2 + 3x3
.
-x1 + 2x2 + x3 ≤ 4
4x2 -3x3 ≤2
x1 -3x2 + 2x3 ≤3
x3 ≤1
x1,x2,x3 ≥ 0
x1,x3 为整数 x3 为
0-1变量
用《管理运筹学》软件求解得:
x1 = 5 x2 = 2 x3 = 2
用《管理运筹学》软件求解得:
x1 = 4 x2 = x3 = 1
z =
§2 整数规划的计算机求解
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§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部,拟议中有10个位置 Aj (j=1,2,3,…,10)可供选择,考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度,规定:
在东区由A1 , A2 ,A3 三个点至多选择两个;
在西区由A4 , A5 两个点中至少选一个;
在南区由A6 , A7 两个点中至少选一个;
在北区由A8 , A9 , A10 三个点中至少选两个。
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的,预测情况见表所示(单位:万元)。但投资总额不能超过720万元,问应选择哪几个销售点,可使年利润为最大?
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§3 整数规划的应用
解:设:0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用)或 0 (Ai 点没被选用)。
这样我们可建立如下的数学模型:
Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10
. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720
x1 + x2 + x3 ≤ 2
x4 + x5 ≥ 1
x6 + x7 ≥ 1
x8 + x9 + x10 ≥ 2
xj ≥ 0 且xj 为0--1变量,i = 1,2,3,……,10
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§3 整数规划的应用
解:这是一个整数规划的问题。
设x1,x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各
种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入,为了说明固定费用的这
种性质,设 yi = 1(当生产第 i种容器,