文档介绍：近世代数主要知识点
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第一章 基本概念
集合
映射
代数运算
结合律
交换律
分配律
一一映射
同态
同构、自同构
等价关系与集合分类
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第二章 群论
群的定义
合的所有一一变换做成一个变换群
定理3 任何一个群都同一个变换群同构
证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起，做成一个集合G’={ a’，b‘，c’ ·······}那么x→x’是G到G’的满射，但消去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’ ≠y’，所以x→x’是一一映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构
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置换群
一个有限集合的一一变换叫做置换
一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。
定义 一个包含n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群 sn
定理 1 n次对称群sn的阶是n！
定义 sn的一个把ai1变到ai2·····························而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个k-循环置换
定理2 每一个n个元的置换ד都可以写成若干个互相没有共同数字的循环置换的乘积。
定理3 每个有限群都与一个置换群同构
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循环群
定义 若一个群G的每一个元都是G的某个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，我们也可以说，G是由元a生成的，并且用符号G=（a）来表示。a叫做G的一个生成元
定理 假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构造完全可以由a的阶来决定
a的阶若是无限，那么G与整数加群同构
a的阶若是一个有限整数n，那么G与n的剩余类加群同构
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子群
定义 一个群的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群
做成子群的必要条件; ⑴,a，b∈H=>ab∈H⑵a∈H=>a’ ∈H
定理 做成子群的充分必要条件a，b∈H=》ab’ ∈H
一个群的不空有限子集H作成G的一个子群的充分必要条件是：a，b∈ab∈H
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子群的陪集
a～b 当且仅当ab’ ∈H时
是一种等价关系
a～‘b当且仅当b’a∈H是
也是等价关系
等价关系的类是右陪集
Ha
第一种情况
由～’所决定的类是左陪
集
第二种情况
一个右陪集的个数和
左陪集的个数相等
它们或者都是无限大
或者都是有限并且相等
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子群的陪集续
指数 一个群的子群的右陪集的个数叫做H在G里的指数
假定H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G 的阶N 并且N=nj
一个有限群的任一元a的阶n都能整除G的阶
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不变子群、商群
定义 一个群G是一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每个元a来说，都有Na=aN 一个不变子群的一个左(右)陪集叫做N的一个陪集
一个群G的一个子群是一个不变子群的充要条件是：aNa’=N 对于任意元a都成立
充要条件 a∈G，n∈N=>ana‘∈N
商群 一个不变子群N的陪集所做成的群叫做一个商群 G/N 有限群时 G的阶/N的阶=G/N的阶
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同态、不变子群
一个群G同他的每一个商群G/N同态
同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G’的一个同态映射。G’的单位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的子集就叫做同态映射的核 。
定理 假定 G 与G’是两个群，并且G与G’同态，那么这个同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/N≌G’
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加群、环的定义
加群 一个交换群叫做一个加群
环 一个集合叫做一个环
1 R是加群 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群
2 R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的
3 这个乘法适合结合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c 是R的哪三个元
两个分配律都成立 a（b+c）=ab+ac
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元
单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元