“北约”“华约”2020年自主招生数学模拟试题.docx

文档介绍：“北约”“华约” 2020 年自主招生数学模拟试题
（满分 150 分）
5. 设 P 是抛物线 y2
4y
2
3.
直接求 x 的个位数字很困难，需将与
x 相关数联系，转化成研究其相关数 .
【解】令 y
(15
220 )19
(15
220 ) 82 ,则 x
y
[(15220 ) 19
(15
220)82 ]
[(15
220 ) 19
(15
220 ) 82 ] ，由二项式定理知，对任意正整数
n.
(15
220) n
(15
220)n
2(15n
Cn2
15n
2
220
)
为整数，且个
位数字为零 .
因此， x
y 是个位数字为零的整数
. 再对 y 估值，
因为 0
15
220
5
5
， 且
(15
220)
88
(15
220 )
19
，
220
25
15
所以
0
y
2(15
220 ) 19
2
.
故 x 的个位数字为 9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题
.
4.
解：被
7
除余 2 的数可写为 7k
2 .
由
100
≤
7k
2≤600
.知14
≤ k ≤ 85 .
又若某个 k 使
7k
2能被 57
整除，则可设
7k
2
=57n.
即 k
57n
2
n
2
7
8n
.
n
2
n
7m
2
k
57m
16
57m
16
7
即
应为
7的倍数. 设
代入，得
.
∴
14
85
∴
.
m=0,1. 于是所求的个数为
70
．