文档介绍：不等式
（又称排序原理）
设有两个有序数组aia2an及bib2bn.
则a1bla2b2anbn（同序和）
aibjia2bj2anbjn（乱序和）
aibna?bnianbi（逆序和）
an或
其中ji,j2cca时,
可将a2b2
(abbcca)配方为-[(ab)2(bc)2(ca)2],亦可利用a2b22ab,
2
b2c22bc,c2a22ca,3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.
：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.
ab
不等式关于a,b,c对称，不妨abc,则ab,bc,acR,且一,一,
bc
a都大于等于1.
c
评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若a1a2an
ai0（i1,2,,n）,则a11a22ann（a〔a2an）n
（3）本题还可用其他方法得证。因aabbabba,同理bbccbccb,ccaacaac,
另aabbccaabbcc,4式相乘即得证.
（4）设abc0,,类似例
，一般地有排序不等式（排序原理）：
设有两个有序数组aia?an,bib?bn,则a〔bia2b2anbn
（顺序和）
aMa2bj2anbjn（乱序和）
aibnaibn1an"（逆序和）
其中J1,J2,,jn是1,2,,
b1b2bn时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证明略）
2,2 2
2 2 2 a b c ,
a b b c c a;— — — a b c
b c a
,它的应用技巧是将不等式两边转化
2 1 , 2 1 2 1 2 1 , 2 1 2 1
a-b-c-a-b-c-
b c a a b c
：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
不妨设abc,则a2b2c2,‘—,则a2—b2—c2,（乱序和）
cbacab
c1c1c1c1c1c1
a—b—c一（逆序和），同理a-b—c—（乱序和）
abccab
c1c1c1
a2-b2-c2-（逆序和）两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式
abc
再考虑数组a3b3c3及1—1,仿上可证第二个不等式.
bcacab
：不等式右边各项a
I
1 ai
I
;可理解为两数之积，尝试用排序不等式
设”也，,bn是a1，a2, ,an的重新排列,
满足bi b2
1
又1:
22
所以创
1
3
a2
22
32
1
-2 . n
an n
bi
b2 b3
_2 2
22 32
整数，故b1
1,b2
2,
,bn
n .从而b1
bn
-2 n
b2 b
2 _2
22 32
.由于 bi,b2,
bn n
bn是互不相同的正
证.
例如可证我们熟悉的基本不等式,
评述：排序不等式应用广泛,
a2b2abba,