向量与三角形的四心 （詹国元）.pdf

文档介绍：平面向量与三角的四心
江西萍乡詹国元（**********）
一、重心(三角形三边中线的交点)
(1) 重心到顶点的距离与重心到对边中点的sin 2 B :sin 2 C ，故
sin 2AoA . 2sin 2 B . oB sin 2 C . oC 0
例、(2005 年全国 1 高考理科数学题第 15 题) △ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
oH m() OA  OB  OC ，求实数 m 的值。
四、内心（三条内角平分线交点，内切圆圆心）
1、设 a,b,c 是三角形的三条边长，O 是△ABC 的内心， aoA boB  coC 0  o为  ABC的内心。
先证： aoA boB  coC  0，则 O 是△ABC 的内心
证：由 aoA boB  coC  0则 aoA b( oA  AB )  c ( oA  AC )  0
AB AC
则 (a b  c ) oA   ( bAB  cAC )   bc（ + ）
AB AC
bc AB AC
oA  （ + ）
abc AB AC
所以 OA 为 BAC的角平分线
A
同理可证 OC、OB 分别为 ABC和 BCA的角平分线
F E
再证：若 O 是△ABC 的内心，则 aoA boB  coC  0
O
如右图所示，作 MB //CO 交 AO 延长线于 M，
B
由内角平分线定理可得 C
AB BD c

AC DC b