文档介绍：函数的周期性与对称性
第二章 第5炼 函数的对称性与周期性 函数及其性质
本书由作者独家授权“学易书城〞，其所含章节未经作者与学
〔6〕双对称出周期：假设一个函数存在两个对称关系，那么是一个周期函数，具体情况如下：〔假设〕
① 假设的图像关于轴对称，那么是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 假设的图像关于中心对称，那么是周期函数，周期
③ 假设的图像关于轴对称，且关于中心对称，那么是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹〞，只要了解一个周期的性质，那么得到整个函数的性质。
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〔1〕函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用条件求值
〔2〕图像：只要做出一个周期的函数图象，其余局部的图像可利用周期性进行“复制+粘贴〞
〔3〕单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以假设在上单调增〔减〕，那么在上单调增〔减〕
〔4〕对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 〔或对称中心〕，那么 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中〔3〕〔4〕在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
二、典型例题：
例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，那么__________
思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：
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，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调： ，所以
答案：
例2：定义域为的函数满足，当时，，那么〔 〕
A. B. C. D.
思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转化：
答案：D
小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向范围进行靠拢。
例3：定义在上的函数对任意，都有
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，那么等于〔 〕
A. B. C. D.
思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由可得，所以
答案：D
例4〔2022山东〕：定义在上的函数满足，那么的值为〔 〕
A. B. C. D.
思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，，那么有
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，两式相加可得：，那么，即在时周期是6，故
，而
答案：C
小炼有话说：〔1〕此题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。
〔2〕如何快速将较大自变量缩至范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。那么被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次到达余数。例如此题中，从而
〔3〕此题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调〞从而将自变量放置区间内
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