文档介绍：解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
直角三角形中各元素间的关系：
在网中，（7=90° , AB=c, AC=b, BC=a。
（1） 三边之间的关系：疽+#=。2。（勾股定理）
（2） 锐角之间的关系：』+夕=9,人= 105.
/. tan A = tan(45 +60 ) = =一2一也,
1-V3
V? + J~6 sin A二sin 105° =sin(45° +60°) = sin45°cos60° +cos45° sin60° 二——-——
5mbc = ? AC x AB sin A = ；x2x3x : ： (V2 + V6)。
解法二：由sin A+cos A计算它的对偶关系式sin A+cos A的值。
. A 同 V2 G
•「sin A + cos A =—— ①
2
9 1
(sin A + cos A) =—
:.2sin Acos A =
2
0 < A< 180 sin A >0, cos A <0.
另解(sin2A = —；)
(sin A-cosA) = 1 - 2sin Acos A =—,
sin A-cos A = - ②
2
①+②得sinA= M也
4
①-②得cos A =旦通。
4
从而 tanA = ^/ =可通 x—±^ = -2-右。
cos A 4 J2-J6
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是
一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
题型3：三角形中的三角恒等变换问题
，a、b、c分别是/B、的对边长，已知公b、c成等比数列，且凌一
bsinB
c=ac~bc,求的大小及 的值。
C
分析：因给出的是公b、。之间的等量关系，要求Z4,需找与三边的关系，故可用余弦定理。
b b sin B
由可变形为 =a,再用正弦定理可求 的值。
c C
解法一 ：•.*、b、。成等比数列,：.&=ac。
又决一c-ac~be, 击二be。
b2 +c2 -a2 be 1
在网中，由余弦定理得：cos/二 二葛一二二，
2bc 2bc 2
:.Z^60° o
在况7中，由正弦定理得sin庐 庭诅』,V lj-ac, a
ZA=&0° ,
bsmB b1 sin 60° V3
= =sin60° = —- o c ac 2
解法二：在曲中,
由面积公式得L力csin/=L acsin^o
2 2
&=ac, Zt4=60° , Dcsin/Ksin^。
.•.丝!l&sin/4 c 2
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型4：正、余弦定理判断三角形形状
△/及?中，若2cos3sin』=sinC,则△/冏7的形状一定是（ ）
B,直角三角形
C,等腰三角形
答案：C
解析：2sin/cos2?=sin（7 =sin （4+3） =sinAcosB+cosAsinB
sin （』一方）=0, '.A=B
另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通
畅解题途径。
题型5：三角形中求值问题
例5. AABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时，cosA + 2cos生°取得最大值，并求 2
出这个最大值。
B+C Ji A B+C A
解析：由A+B+C二兀，得日~=? 所以有cos— =sin-o
B+C A 2A A A 1 2 3
COSA+2COS-=cosA+2sin— =1 —2sin~ + 2sinT=—2 （sin— —
乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙
当 sin§ =即 A=-z~ 时，cosA+2cos%^i得最大值为|"。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的 性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用
例6. （2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C, D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座
B
灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 75°,
30°,于水面c处测得耽点和d点的仰角均为60°, W
AC=0. 1km。试探究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求
B, D的距离（, a/2 ® , J6 ®）
解：在Z\ABC 中，ZDAC=30° , /ADC=60° - ZD