函数的导数中应注意的几点及应用.docx

文档介绍：函数的导数中应注意的几点及应用
一、导数中应注意的几个问题
1、运用复合函数的求导法则乂 = yfu-ux,应注意以下几点一
利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数，
要分清每一步的求导是哪个变量对哪个应的曲线是上凹 的
例题：判断函数y=iax的凹向
解答：我们根据定理二来判定。
,I . I
y = 一 . = —
因为 K P ,所以在函数>=tx的定义域(0,+8)内，T <0,
故函数所对应的曲线时下凹的。
拐点的定义
连续函数上，上凹弧与下凹孤的分界点称为此曲线上的拐点
例题：求= 极值点
解答：先求导数Z« = 2(x4-2Xx-DJ+(x^2)a3(^-Da = (x+2Xx-D，(5x+4)
4/8
再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示
(一.
-2
5
H/64)
1
(L*~)
g
+
0
—
0
+
0
+
21
、
It +
21
£
例题：求函数/(*) = H-3x+3,在区间［一3,泪的最大值、最小值。
例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？
例题:设工厂到铁路线的垂直距离为20km, 应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站， 果己知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A所需运费最省？
练****br/>求函数/W=(x2-1)3 +1的极值；
函数f(x) = ax3 +bx在x = l处有极值-2,求a,力的值；
设函数/(x) = mcosx~~cos在了 = §处取得极值，求m ;
求函数f(x)=x"2x + 2的极值。
5、利用导数证明不等式
［例 6］求证：①2Vx>3--(x>0) ②工>ln(l + x)(x>0)
［例 6］当 0 v x v ■时，求证：tanx> x-\- — o
2 3
x
［例6］当x>0,证明不等式——<ln(l + x)<x
1 + x
综合选讲：
2
［例1］已知曲线S : —与》3 ++ 4》及点p(o,O),求过点P的曲线S的切线方程.
［例2］求证：函数y = x + ~图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0 X

［例3］已知白>0,函数/(x) = x3 - a, xe［0,+8),设x1>0 ,记曲线y = f(尤)在点
M(^，/(^))处的切线为I •-
求/的方程；.
设/与X轴交点为(尤2，°)，求证：.
1
①巧2。3 ； ②若工1 >。3 ,则a3 < x2 <工1
［例 4］函数 f(x) = 3x3 +3ax-l,g(x) = f '(x)-ax-5,其中 f 3)是/'⑴的导
函数.(1)对满足一IWaW 1的一切。的值，都有g(x) <0,求实数x的取值范围； (2)设a = — m2,当实数秫在什么范围内变化时，函数y = /(x)的图象与直线y =3只 有一个公共点.
［例5］若电灯B可在桌面上一点0的垂线上移动，桌面上有与点0距离为。的另