文档介绍：-----
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第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数
教学目的：使学生掌握实数的根本性质．
教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)牢记并熟练运用、证明：.
3、设，证明：假设对任何正数有，那么.
4、设，证明：存在有理数满足.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学****题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的****题要尽可能多做，以加深理解，，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；
2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理〔确界原理〕.
一 、区间与邻域
区间〔用来表示变量的变化范围〕
设且.，其中
2、邻域
联想：“邻居〞.字面意思：“邻近的区域〞.与邻近的“区域〞很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域〞呢？就是“关于的对称区间〞；如何用数学语言来表达呢？
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〔1〕的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即
.
其中
〔2〕点的空心邻域
.
〔3〕的右邻域和点的空心右邻域
〔4〕点的左邻域和点的空心左邻域
〔5〕邻域，邻域，邻域
〔其中M为充分大的正数〕；
二 、有界集与无界集
定义1〔上、下界〕：，使得一切都有，那么称S为有上〔下〕〔下界〕；假设数集S既有上界，又有下界，那么称S为有界集.
闭区间、开区间为有限数〕、邻域等都是有界数集，
集合也是有界数集.
假设数集S不是有界集，那么称S为无界集.
等都是无界数集,
集合也是无界数集.
注：1〕上〔下〕界假设存在，不唯一；
2〕上〔下〕界与S的关系如何？看下例：
例1讨论数集的有界性.
解：任取，显然有，所以有下界1；
,那么M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取
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那么，且.
综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：〔1〕任何有限区间都是有界集；〔2〕无限区间都是无界集；〔3〕由有限个数组成的数集是有界集.
[问题]：假设数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).
三 、确界与确界原理
1、定义
定义2〔上确界〕 设S是R中的一个数集，假设数满足：(1) 对一切有〔即是S的上界〕; (2) 对任何，存在，使得〔即是S的上界中最小的一个〕，那么称数为数集S的上确界，记作
从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.
命题1充要条件
1〕；
2〕.
证明：必要性，〕不成立，那么，与是上界中最小的一个矛盾.
充分性〔用反证法〕，设不是的上确界，即是上界，，由2〕，，使得，与是的上界矛盾.
定义3〔下确界〕设S是R中的一个数集，假设数满足：〔1〕对一切有〔即是S的下界〕；〔2〕对任何，存在，使得〔即是S的下界中最大的一个〕，那么称数为数集S的下确界，记作.
从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.
命题2 的充要条件：
1〕；
2〕＞0，＜
上确界与下确界统称为确界.
例3〔1〕那么 1 ； 0 .
〔2〕那么 1 ； 0 .
注：非空有界数集的上〔或下〕确界是唯一的.
命题3：设数集有上〔下〕确界，那么这上〔下〕确界必是唯一的.
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证明：设，且，那么不妨设
有
对，使，矛盾.
例： ， ，
那么有.
开区间与闭区间有一样的上确界与下确界
例4设和是非空数集，且有那么有.
证明：是的上界,是的下界,
例6和为非空数集,试证明:
证明：有或由和分别是和的下界,有
或
即是数集的下界,
又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有
于是有.
综上,有.
数集与确界的关系:⑵为例做解释.
确界与最值的关系:设为数集.
〔1〕的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.
〔2〕非空有界数集必有确界(见下面确实界原理),但未必有最值.
〔3〕假设存在,必有对下确界有类似的结论.
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4. 确界原理:
(确界原理).设非空