文档介绍：线性代数总结
线性代数总结
线性代数总结
线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]   
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线性代数总结
 
一、课程特点
 
    特点一:知识点比较应记住的一些性质与结论
:
1)向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。
2)向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
   3)若 线性无关,而 线性相关,则向量 可由向量组 线性表示,且表示法唯一。
线性代数总结
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:
1) 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。
2) 如果向量组 可由向量组 线性表示,则有
3) 等价的向量组具有相同的秩,但不一定有相同个数的向量;
4) 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
:
1) 齐次线性方程组的一个基础解系;
2) 、 、 这样的单位向量组;
3) 不同特征值对应的特征向量。
:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5)若有 、 满足 ,则 ;
6)若 就是可逆矩阵则有 ;
7)若 可逆则有 ;
8) 。
:
1) 非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解;
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2)若 有无穷多解则 有非零解;
3)若 有两个不同的解则 有非零解;
4)若 就是 矩阵而 则 一定有解,而且当 时有唯一解,当 时有无穷多解;
5)若 则 没有解或有唯一解。
 
四、特征值与特征向量
 
相对于前两章来说,本章不就是线性代数这门课的理论重点,但却就是一个考试重点。其原因就是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组与线性相关,“牵一发而动全身”。本章知识要点如下:
就就是记牢一系列公式如 、 、 与 。
常用到下列性质:
若 阶矩阵 有 个特征值 ,则有 ;
若矩阵 有特征值 ,则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 ,且对应特征向量等于 所对应的特征向量;
定义式为 ,此时满足 、 、 ,并且 、 有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同:矩阵 与矩阵 等价( )的定义式就是 ,其中 、 为可逆矩阵,此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 ,并有 ;当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似( )的定义式,即有 ;矩阵合同的定义就是 ,其中 为可逆矩阵。
线性代数总结
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由以上定义可瞧出等价、合同、相似三者之间的关系:若 与 合同或相似则 与 必等价,反之不成立;合同与等价之间没有必然联系。
包括两个充要条件与两个充分条件。充要条件1就是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量;充要条件2就是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量;充分条件1就是 有 个互不相同的特征值;充分条件2就是 为实对称矩阵。
阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 ,即有正交矩阵 使得 ,而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。
可以认为讨论矩阵的相似对角化就是为了方便求矩阵的幂:直接相乘来求 比较困难;但如果有矩阵 使得 满足 (对角矩阵)的话就简单多了,因为此时
而对角阵 的幂 就等于 ,代入上式即得 。引入特征值与特征向量的概念就是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为,不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值与特征向量,而且 中的 、 也分别就是由 的特征向量与特征值决定的。
 
五、二次型
 
本章所讲的内容从根本上讲就是第五章《特征值与特征向量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”,其过程就就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下:
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学****线性代数总结
2009年06月14日 星期日 上午 11:12
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