高中数学典型例题解析立体几何.pdf

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P 在其中一条线上，或 a 与 P 确定平面恰好与 b 平行，此时就
不能过 P 作平面与 a 平行.
正解：假命题．
[例 4] 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 α 相交
于点 E，G，H，F．求证：E，F，G，H 四点必定共线（在同一条直线上）．
分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最
后证明四点共线．
证明 ∵ AB//CD， AB，CD 确定一个平面 β．
又∵AB ∩α＝E，AB β， Eα，Eβ，
即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点．
同理可证 F，G，H 均为平面 α 与 β 的公共点．
∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直
线，
∴ E，F，G，H 四点必定共线．
点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，
而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
l
[例 5]如图，已知平面 α，β，且 α∩β＝ ．设梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AB α，
l
CD β，求证：AB，CD， 共点（相交于一点）．分析：AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰，必定相交于一点 M，只要证明 M 在 l 上，
而 l 是两个平面 α，β 的交线，因此，只要证明 M∈α，且 M∈β 即可．
证明： ∵ 梯形 ABCD 中，AD∥BC，
∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰．
∴ AB，CD 必定相交于一点，
设 AB ∩CD＝M．
又∵ AB α，CD β，∴ M∈α，且 M∈β．
∴ M∈α∩β．
l l
又∵ α∩β＝ ，∴ M∈ ，
l
即 AB，CD， 共点．
点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．
[例 6]已知：a，b，c，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d 共
面．
分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条
直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性
质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．
证明 1º 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a，b，c 相交于一点 A ∴ 直线 d
和 A 确定一个平面 α．
又设直线 d 与 a，b，c 分别相交于 E，F，G，
则 A，E，F，G∈α．
∵ A，E∈α，A，E∈a，
∴ a α．
同理可证 b α，c α．
∴ a，b，c，d 在同一平面 α 内．
2º 当四条直线中任何三条都不共点时，如图．
∵ 这四条直线两两相交，
则设相交直线 a，b 确定一个平面 α．
设直线 c 与 a，b 分别交于点 H，K，
则 H，K∈α．
又∵ H，K∈c，∴ c α．
同理可证 d α．
∴ a，b，c，d 四条直线在同一平面 α 内．
点 评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确
定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一
种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的
含义．
[例 7] 在立方体 ABCD－A B C D 中，
1 1 1 1
（1）找出平面 AC 的斜线 BD 在平面 AC 内的射影；