文档介绍：概率论与数理统计(二)
内容串讲
第一章 随机事件及其概率
事件的关系与运算
必然事件：—随机试验全部结果构成的集合。
不可能事件：
一般事件A：
若A、B为两事件 若，则其蕴含：“A发生导致B发生”能值为，故的可能值为
而
故
例11 设X～，求的分布密度函数
解：先求Y的分布函数：，当；当时
再求Y的分布密度函数
故
第三章 多维随机变量及其概率分布
二维随机变量
的分布函数
X的分布函数
Y的分布函数
离散型的分布律
（与比较）
例１ 设的分布律为
求（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）由知
解得
（2）
（3）
（4） （5）
连续型的分布密度
设D为平面上的区域，为的分布密度，则其满足：
特别，
若X，Y相互独立，则有，，其中分别为X的边缘分布函数和分布密度，分别为Y的边缘分布函数和分布密度。
4．常见二维连续型分布
（1）平面区域D上的均匀分布：设D的面积为，服从D的均匀分布，则的分布密度为
例2 设，即D为xy平面上的单位园域，则，设服从D上的均匀分布，则其 *
解：设具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则，其中表示A与D公共部分的面积。
例3 （续例2）求
解：
（2）二维正态分布 *，设具有该分布，则其概率密度为
*
此时X的边缘密度，即～ 故
Y的边缘密度，即Y～，故，
P为X，Y的相关系数，可知当时，，即X，Y相互独立，这是一个重要结论：
在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。
另外，可知 *
例4 设X～，Y～，两者相互独立，求的分布密度
解：由相互独立知～
第四章 随机变量的数字特征
单个随机变量的期望
例1 设 ，则
例2 设X的分布密度为，则
单个随机变量函数的期望
设X为随机变量，是普通函数，则是随机变量，且
*
例3 设X的分布如例1，求的期望
解：
例4 设X的分布密度如例2，求的期望
解：
当（其中）时，，即为X的方差
例4 设
则 ，
（方差大者，取值分散）
［注］：是重要常用公式
例5 设随机变量X具有概率密度，求DX
解：因是分段函数，故求时也要随之分段积分
于是
3．函数的期望
设是普通函数，则是随机变量，其数学期望EZ等于
例6 设分布律为 ，
则
例７ 设的分布密度，则
当时，其中，则
是X，Y的协方差，即
（重点）
当时，其中
*为X，Y的相关系数
期望的重要性质
（1） （常数）
（2）
（3）
推广：
（4）若X，Y相互独立，则
方差的重要性质
（1）
，其中c为常数
（2）
特别
（3）若X，Y相互独立，则
（4）
例８ 设X，Y相互独立，且，则
协方差的运算性质：
（1）
（2），其中a，b为常数
（3）
（4）若X，Y相互独立，则，从而，即X与Y不相关
［注］：一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关（即）；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y独立。
重要特例是：若为正态分布，则X，Y独立等价于X，Y不相关（即）
例９ 设的分布律为 ，求
解：易知
故，,
，
*
例１０ 设～，则 *
例１１ 设为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_______（选择题）
（A）X，Y独立 （B） （C）
（D）～
解法1（排除法）：排除（A），因X，Y独立不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由服从正态分布及知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选（C）
解法2（直接证明）：当时，，故X，Y不相关