文档介绍：数学竞赛讲义组合7-21
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高一·联赛班·寒假第7讲·教师版
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第七讲 组合综合问题
本讲概述
在前六讲我们对组合数学中的不少专题进行了研究，本…..……………..5分
（Ⅲ）⑴ 我们来证明
由（以上共个）知
．
取，
则取遍从到之间所有的值，此时恰有．
…………10分
⑵ 来证.
显然当诸互不相等时，共有种取法.
我们举例说明可以取到．仿（Ⅰ）取
用反证法，反设存在，，，使，其中，
即，易得，进一步可得．可见不存在两个和相等.
于是对个二元组（，），总两两不同．……………………………..14分
注 本题为讲义作者根据美国数学奥林匹克试题改编
备选1：设为给定的自然数，取数列为，.
取集合.
（Ⅰ）当时，求，并把中数分为两组，分别构成现为集合，．
使 . ①
（Ⅱ）对时作上述操作.
（Ⅲ）对一般的，试问是否仍存在上述分拆，使①成立？
解析：（Ⅰ）时，，有……………………………...2分
（Ⅱ）时，，有
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……….…5分
（Ⅲ）由前两问之方法猜想可能有：
对一般的有
②
如②成立，则取，即可使使①成立…8分
下证②：
②
③
③ 右
左
从而③成立②成立，故猜想成立．………………14分
备选2 给出项数为的的数列：，诸为正整数，且，取个砝码，重量恰为，…，克，由重而轻地逐个把砝码放到天平上，（先从左开始放），每次都放在较轻的盘中，（两边相等时可放入任一盘中）
（Ⅰ）当时，试适当选取恰当克数的砝码，并给出左盘、右盘砝码和的差值
（Ⅱ）设，试证：
（Ⅲ）证明：放完所有个砝码时天平恰好平衡．
解析：（Ⅰ）时，共有6个砝码，重量和为12，取，，，，
则左盘放右放3右放2左放1左、右各放1
∴左盘放4，1，1，右盘放3，2，1
………………………………………………….3分
（Ⅱ）由题意个砝码中有个为1克的，最重的一个为克，
反设，则；
其余的砝码个数为个，每个的重量克．
∴砝码总重量
（克）
这与相矛盾！
∴假设不成立，故必有．……………………………………………..8分
（Ⅲ）∵最重的一个为克，∴天平两边重量之差始终克．
在放个1克的砝码前也同样如此．………………………………..11分
以下说明：不会出现最终两边恰相差
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1克的情况．
这是因为若如此，则左、右盘重量和为奇，这与为偶矛盾！
将重为1的砝码逐一放上去，显然可以实现平衡．证毕．………………14分
如图，正五边形上的顺次排列5个整数，，…，，其和是正的，对其中任意3个连续顶点
上的数，，，若中间的，则作变换,只要所得5个整数中仍有负的，则继续进行此调整. 试证：这种调整只能进行有限次．
设
当时，对作变换，
可见在每次调整后总单调严格递减，每次最少减少2，而由表达式知恒为非负，故对的调整必在有限次内终止．
注 本题为27届IM0试题，本题所用的方法为构造目标函数法
备选3 已知整数满足及，求的最大值.
若，则，若，由
，得.
因为
，
于是，若满足条件；，可从出发，并降得到（1，1），反之亦成立，即由（1，1）出发，
（1,1）→（1，2）→（2，3）→（3，5）→（5，8）→（8，13）→（13，21）→（21，34）→（34，55）→（55，89）→（89，144）→（144，233）→（233，377）→（377，610）→（987，1597）
因此，所求的最大值为9872+15972=3524578
注 本题为选讲
设a1, a2, ... , a10是10个两两不同的正整数,它们的和为1995，
试求a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最小值。
先取定正整数x1>x2>…>x10,将它们沿圆周顺时针排成a1,…,a10使S=(a11=a1).最小.
不妨设a1=x1,a2<,x10,x2,x8,x4,x6,x5,x7,x3,x9.
用调整法依次证明如下:
1).反设a2=xi (i≤9),aj=x10(3≤j≤9).将顺时针a2,…,aj
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