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一阶常微分方程解法总结
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一阶常微分方程解法总结
适用标准文案
第
一
章
一阶微分方程的解法的小结
⑴、可分别变量的方程：
①、形如
d
20
a1
b1
0 ，
a1x b1 y c1
0
的解为 (x0 , y0 ) ，令
u x x0
、
b2
a2 x b2 y c2
v y y0
a2
0
v
获得， dv
f
(
a1u
b1v
f
(
a1
b1 u
g
v
)
，下同②；
du
a2u b2v )
a2
b2
v )
( u
u
还有几类： yf ( xy)dx
xg( xy)dy
0,u
xy
x
2
dy
xy
dy
xf (
y
y
f ( xy), v
dx
x
2 ), w
x
2
dx
M ( x, y)( xdx
ydy)
N ( x, y)( xdy
ydx)
0, x
r cos
, y
r sin
以上都能够化为变量可分别方程。
dy
x
y
5
例 、
x
y
2
dx
解：令 u
x
y
2 ，则 dy
dx du ，代入获得 1
du
u
7
，有 udu 7dx
dx
u
因此 u
2
(C为常数 ) ，把 u 代入获得（ x
2
7x
C
y
2）
7x C (C为常数 ) 。
2
2
例 、 dy
2x
y
1
dx
x
2 y
1
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2x
y
1
0
x
1
u
x
1
dy
3 ，令
3