文档介绍：§ Green 公式(II)1一、Green公式及简单应用二、曲线积分与路径无关性三、二元函数的全微分求积主要内容2二、?B?A,是一个区域设D内在和DyxQyxP),(),(,有一阶连续偏导数内任意给定的两点如果对D,BA和,,21LLBAD的任意两条曲线到内从以及??1LQdyPdx??2LQdyPdx?:),(),(yxQyxP和若,有一阶连续偏导数内在D:则以下四个条件等价.)2(与路径无关内在??LQdyPdxD???,)1(有线内任一按段光滑封闭曲沿.),,()3(QdyPdxduyxuD??使内存在在.,)4(xQyPD?????内在4:证明)2()1(?BADLL到内从是设21,2LAB1L,线的任意两条按段光滑曲?????21LLQdyPdxQdyPdx?????)(?.21?????LLQdyPdxQdyPdx所以5)3()2(?),(yxB),(00yxAD,),(00内一定点为设DyxA,),(内任一点为DyxB曲线积分由,)2(??,),(内变动时在故当DyxB,,的函数积分值是yx:即.),(???ABQdyPdxyxu.),(满足要求下证yxu6,),(,DyxxCx????使得充分小取),(yxxC??),(yxB),(00yxAD则),(),(yxuyxxu?????????ABACQdyPdxQdyPdx???BCQdyPdx??BCPdx)0(?dy????xxxdxyxP?),(,),(xyxxP?????)10(???,),(上连续在根据DyxP于是有).,(),(limlim00yxPyxxPxuxuxx??????????????7同理).,(yxQyu???.QdyPdxdu??因此)4()3(?),,(yxPxu???)3(由).,(yxQyu???,),(2yxuyyxP??????.),(2xyuxyxQ??????进而),(),(yxQyxP和由,有一阶连续偏导数内在D知yxu???2,2xyu????.,xQyPD?????内所以在8DLD?)1()4(????LQdyPdx,线内任一按段光滑封闭曲为设DL,'DL围成的区域为记,是单连通闭区域由D.'DD?所以),4()('????????DdxdyyPxQ9:注.)1(????Lyxydxxdy,上内任何封闭曲线域不包含原点的单连通区LD,线时为绕原点一周的封闭曲当L2222,yxxQyxyP?????,上有定义只能在挖去原点的区域必含在一个L,?????Lyxydxxdy10