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一、数列
数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列， 数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的，在这里，只强调有“次序〞，而不强调有“规
律〞．=d, b=
a1－d.
如 1、等差数列{ an}中，a10
30 ， a20
50
，那么通项 an
〔答： 2n
10 〕；
2、首项为 -24 的等差数列，从第
10 项起开场为正数，那么公差的取值范围是
______
〔答： 8
d
3〕
3
〔 3〕等差数列的前
n 和： Sn
n(a1
an)， Sn na1
n( n 1)
d 。公式变形为：
2
2
d
snAn2Bn，其中A=2
，B=a1
d . 注意：n,d,
a1 ,a n ,sn中的三者可以求
2
另两者，即所谓的“知三求二〞。
如 数列 { an } 中，an
an 1
1 (n 2, n
N * ) ，an
3，前 n 项和Sn
15 ，那么
2
2
2
a1＝＿， n ＝＿〔答： a1
3，n
10 〕；〔2〕数列
{ an } 的前n项和Sn
12n n2
，
求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn〔答： Tn
12n
n2 (n
6, n N * )
〕 .
n2
12n
72(n
6, n N * )
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a b
。
〔 4〕等差中项： 假设a, A,b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且A
2
提醒 ：〔1〕等差数列的通项公式及前
n 和公式中， 涉及到5
个元素： a1、d、 n 、 an及
Sn，其中 a1、d称作为根本元素。 只要这5个元素中的任意
3 个，便可求出其余
2 个，
即知 3 求 2。〔 2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为⋯，
a 2d , a d ,a, a d , a 2d ⋯〔 公 差 为d〕； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为⋯，
a 3d, a d , a d , a
3d ,⋯〔公差为2
d 〕
3. 等差数列的性质：
〔 1〕当公差d
0
时，等差数列的通项公式 an
a1
(n 1)d
dn
a1
d 是关于n的一
次函数， 且斜率为公差 d ；前n和 Sn na1n(n
1) d
d n2
(a1
d )n 是关于n的二次
2
2
2
函数且常数项为 0.
等差数列 {a n } 中，Sn
是 n 的一次函数， 且点〔 n，Sn〕均在直线 y = d x
n
n
2
+ (a 1－d ) 上
2
〔 2〕假设公差d 0 ，那么为递增等差数列，假设公差d0 ，那么为递减等差数列，假设公差
0 ，那么为常数列。
〔 3〕对称性：假设an是有穷数列，那么与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和 . 当mn p q 时,那么 有aman a p aq， 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ， 那么 有
am an2ap.
如 1、等差数列{ an}中，Sn
18, an an 1
an 2 3, S3
1
，那么 n ＝____〔答：27〕；
2、在等差数列
an
中，
a10
0, a11
0
，且
a11 | a10
|
，
Sn
A