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数列根底知识点和方法归纳
等差数列的定义与性质
定义： an 1 an
d 〔d为常数〕， an
a1
n 1 d
等差中项： x， A， y 成等差数列
4
又 S1
4 ，∴ Sn是等比数列， Sn 4n
Sn
；
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2
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n 2 时，anSn Sn 1⋯⋯3·4n 1
〔 2〕叠乘法
如：数列
an中，a1
an 1
n
，求 an
3，
an
n 1
解
a2
a3
an
1
2
n 1
an
1
3
·
a2
⋯⋯
· ⋯⋯
n
，∴
又 a1
3，∴an
a1
an 1
2
3
a1
n
n .
〔 3〕等差型递推公式
由 an
an 1
f ( n)，a1
a0，求an，用迭加法
a2
a1
f (2)
n 2
a3
a2
f (3)
两边相加得
an a1
f (2) f (3) ⋯⋯
f (n)
时， ⋯⋯ ⋯⋯
an
an 1 f (n)
∴ an
a0
f (2)
f (3)
⋯⋯ f (n)
［练习］数列
an
中， a1
n 1
an 1
n
an
1
3n
1
1， an 3
2 ，求an〔
2
〕
〔 4〕等比型递推公式
an can 1
d 〔c、d为常数，c 0，c
1， d
0 〕
可转化为等比数列，设 an x
c an 1
x
an
can 1
c 1 x
令 (c 1)x
d ，∴ x
d
，∴ an
d
是首项为 a1
d
， c 为公比的等比数列
c 1
c 1
c
1
∴ an
d
a1
d
· cn 1，∴ an
a1
d
cn 1
c
d
c
1
c
1
c
1
1
〔 5〕倒数法
如： a1
1， an 1
2an
，求 an
an
2
由得：
1
an
2
1
1，∴ 1
1
1
an 1
2an
2
an
an 1
an
2
∴
1
为等差数列，
1
1 ，公差为
1，∴ 1
1 n 1·1
1
n 1 ，
an
a1
2
an
2
2
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3
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2
∴ an
n1
(
附：
公 式 法 、 利 用an
S1(n 1)
Sn Sn 1 ( n 2)、 累 加 法 、 累 乘 造 等 差 或 等 比
an 1 pan q 或 an 1
pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、
换元法
)
求数列前 n 项和的常用方法
裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
n
1
如： an
是公差为 d 的等差数列，求
k 1 akak 1
解：由
1
1
1
1
1
d 0
ak ak d
d ak
ak 1
ak· ak 1
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n
1
n
∴
k 1 akak 1
k 1
1
1
1
1
1
1
1
1
⋯⋯
1
1
d