文档介绍：初中二次函数解题方法
初中二次函数解题方法
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初中二次函数解题方法
初中二次函数的解题方法
首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：
一般式 ：y=ax2+
值) ．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端
点处各取一个最值； 如果顶点横坐标不在区间内， 则在区间两端
点处各取一个最值． 定义域是开区间时， 二次函数只有其顶点横
坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．
在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有
效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几
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年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。
例 1 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 (4 ，－11) ，且与 x 轴的两
个交点的横坐标为一正一负．则 a、b、c 中为正数的（ ）
A、只有 a B、只有 b C、只有 c D、有 a 和 b
解：由顶点为 (4 ，－ 11) ，抛物线交 x 轴于两点，知 a>0．设
抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2，即 x1、 x2 为方
程 ax2+bx+c=0 的两个根，由题设 x1x2<0 知 c <0，所以 c<0，又对
a
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称轴为 x=4 知－ b
2a
>0，故 b<0．故选 (A) ．
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例 2 已知二次函数 f ( x)= ax2+bx+c 的系数 a、b、c 都是整数，
并且 f (19)= f (99)=1999 ，| c|<1000 ，则 c= ．
解：由已知 f ( x)= ax2+bx+c，且 f (19)= f (99)=1999 ，因此可设 f ( x)= a( x－19)( x－99)+1999 ，
所以 ax2+bx+c=a( x－19)( x－99)+1999
=ax2－(19+99) x+19×99 a+1999，故 c=1999+1881a．
因为 | c|<1000 ，a 是整数， a≠0，经检验，只有 a=－1 满足，此时 c=1999－1881=118．
例 3 已知 a，b，c 是正整数，且抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点 A，B，若 A、B 到原点的距离都小于 1，求 a+b+c 的最小值．
解：设 A、B 的坐标分别为 A( x1，0) ，B(x2，0) ，且 x1<x2，则
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x1，x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根．
x1 x2
b
0,
a
∴
∴x1<0