文档介绍：第四节矩阵秩与向量组秩的关系11 12 121 22 21 2nnm m mna a aa a aA m na a a? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ????设 是的矩阵1按行分块得到12mA???? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??????1 2, ,i i ina a aA i????i其中是的第行构成的向量i= 1,2, m2将该矩阵按列分块得到??1 2nA? ? ???12jjjmjaaa?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??其中??An?是的第j列构成的向量 j= 1,2,3称为A的行向量组????1,mn? ?? ???1,称为A的列向量组定义9矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩,A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢?4先看一个例子1 12 231 0 0 00 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0a ba bBb? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵5??4R B?显然B的列向量组1 2 4 6, , ,? ???线性无关,并且3 1 1 2 25 1 1 2 2 3 3a ab b b? ??? ???? ?? ??故1 2 4 6, , ,? ???是B的列向量组的极大无关组。6B的列秩=B的秩=r一般的,对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵,有B的列秩=B的秩=4引理设矩阵A经过行初等变换化为B,分别记为:1 2( , ,..., )n?Aα α α??1 2, ,...,n?Bβ β β7之间有完全相同的线性关系,即则A的列向量组与B的列向量组1 1 2 2...α α α 0n nx x x? ???当且仅当1 1 2 2...n nx x x? ???βββ0证因为矩阵A经过行初等变换化为B,A的列向量组与B的列向量组等价,也就是说齐次线性方程组AX=0 与BX=0同解,即8有相同的线性相关性。于是知列向量组1 2, ,...,nααα与1 2, ,...,nβββ1 1 2 2...n nx x x? ???βββ0同解1 1 2 2...n nx x x? ???ααα0与9定理5矩阵的秩等于它的行秩,也等于它的列秩。证设矩阵??ijm na??A( )r r?AB是与之对应的B-型阵设A的r阶非零子式0r?D下证A的列向量组的秩为rrD所在的r列构成的m r?矩阵为10