文档介绍：第四章第四章线性方程组线性方程组第第11页页第三、四章内容总结一、理论发展脉络秩、最大无关组线性相关基、维数向量组等价讨论基础解系、维数解的结构向量AX=0的解空间向量组向量空间AX=b????1 向量第四章第四章线性方程组线性方程组第第22页页解线性方程组矩阵的秩求向量组的秩和最大无关组2 矩阵求向量空间的基和维数矩阵矩阵的初等变换?判别向量组的线性相关性求向量在基下的坐标解矩阵方程求可逆矩阵的逆矩阵第四章第四章线性方程组线性方程组第第33页页2 若向量组是向量空间V的一个基,则V可表示为一些概念:向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间向量空间r???,,,21???RxVrrr???????????????,,,212211??1 等价的向量组所生成的向量空间相同。一些结论结论2表明,此时V中向量可用一个统一的式子表出。内容回顾第四章第四章线性方程组线性方程组第第44页页定义称解空间S的基为方程组AX=0 的基础解系。结论2 若R(A)= r , 则解空间S的维数等于n-r 。(其中n 为方程组中未知变量的个数)结论1 齐次线性方程组AX=0 的解的全体是一个向量空间。(记为S,称S为解空间。)(*)11rnrnkkx????????若设是S的基础解系,则任一解可表示为rn???,,1?称(*)式为齐次方程组AX=0的通解。第四章第四章线性方程组线性方程组第第55页页B);()(,00)1(:,,,??????解:;00),()()2(的解的解均是则秩若秩???BxAxBA同解。与则秩)若秩00),()(4(???BxAxBA);()(,00)3(BABxAx秩则秩同解与若???以上命题中正确的是).4)(3(().4)(2(().3)(1(().2)(1(())))DCBA练习第四章第四章线性方程组线性方程组第第66页页例(P94 例2)求解方程组?????????????????032030432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵施行初等行变换变为行最简形?????????????????321131111111A????????????????2**********~1312rrrrIrrrrr?????????????????000021001011~2321222同解方程组:????????????4443224212xxxxxxxxx通解为:),(1201001121214321Rkkkkxxxx?????????????????????????????????????????????第四章第四章线性方程组线性方程组第第77页页例设A,B都是n阶方阵, 且AB= 0, 证明R(A)+R(B)≤n见P94例3证将矩阵B按列分块??1 2,nB b b b??则??1 2nAB Ab Ab Ab??由AB = 0 )21(0,n,,iAbi????即B的每一个列向量皆为方程组AX=0 的解向量。又若R(A)= r,则解空间S的维数:维(S)=n-r。1 2 , ( )nb b b n r R B n r? ? ???于是的秩即nBRAR??)()(也即□第四章第四章线性方程组线性方程组第第88页页非齐次线性方程组非齐次线性方程组第四章第四章线性方程组线性方程组第第99页页设有非齐次方程组11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 (4)n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ?????? ???????? ???????????????????????????????????????????mmjjjjbbbbnjaaaa???2121),,,2,1(,其中向量形式)5(2211baxaxaxnn?????矩阵形式AX=b 其中Am×n为系数矩阵(6)第四章第四章线性方程组线性方程组第第1010页页结论对非齐次方程组(4):Ax=b,下面四种说法等价:①方程组(4)有解;②向量b能由向量组a1, a2, ···,an线性表示;③向量组a1, a2, ···,an与向量组a1, a2, ···,an , b等价;④矩阵A= (a1, a2, ···,an ) 与B= (a1, a2, ···,an , b)的秩相等。通常称A为系数矩阵,称B= (A,b)为增广矩阵。定理1 非齐次方程组有解的充分必要条件为:它的系数