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设A为m×n矩阵，秩（A）=r，则A等价于，即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，使.
(6)(Schur定理) 任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于其中为矩阵A的特征值.
： 若为矩阵，并且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（ 阶），使
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，其中为阶单位矩阵.
：设是两矩阵，则当且仅当.
矩阵的合同关系
：设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
：
（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.
（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.
（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.
(4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.
(5) 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.
(6) 矩阵合同与数域有关.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
. 矩阵的相似关系
设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）.
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵
(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得
(1)反身性 : ;
(2)对称性 :由即得;
（3）传递性: 和即得
(4) （其中是任意常数）；
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(5）；
(6）若与相似，则与相似（为正整数）；
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么.
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
即：如果，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设，若可逆，.
若不可逆，则不可逆，即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
相似矩阵的特征值相同.
相似矩阵有相同的迹
、合同和相似之间的联系与区别
矩阵的相似与等价之间的关系与区别
，但等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵,等价，与并不相似，即等价矩阵未必相似．
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理
定理 ：对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似．
证明： 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记 ,那么,也即,则矩阵也相似．
矩阵的合同与等价之间的关系与区别
：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设阶方阵合同，由定义2得，存在阶可逆矩阵，使得， 若记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价
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但对于矩阵,等价，与并不合同，即等价矩阵未必合同．
什么时候等价矩阵是合同的？
只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵
矩阵的合同与相似之间的关系与区别
合同矩阵未必是相似矩阵
例 单位矩阵 E