5.2 矩阵的相似对角化.ppt

文档介绍：. . . 相似矩阵的基本概念使如果存在可逆矩阵阶矩阵都是与设,,PnBABAPP??1.~BABA,记为相似与则称;~)1(AA反身性;对称性ABBA~~)2(?.~~~)3(CACBBA?、相同特征值、相同的迹、相同的行列式、 AP B??APPIBI1?????????PAIP????1PAIP?????????APPPIP11?????证明,设BA~使得可逆阵则,P?A与B特征多项式相同,因而特征值相同.,BAPP??1?BAPP???1BPAP?????相似矩阵的性质:3例.,00020001,11322002yxBAyBxA相似,求与若设????????????????????????因此,x=0,y=-,与BA??)()(BtrAtr?11???yx即通过计算,可知-2 是A 的一个特征值4(1)相似矩阵或者都可逆,,:(2)若A与B相似,则kA与kB相似.)(是任意常数其中k,0)3(1??APP0??A,1IAPP??IA??,1kIAPP??kIA??,21???????????????????knkkk?为对角阵若???APP1,1????PPAkk怎样方便地计算方阵A的幂次????????????????n?????21容易得到问题:(1)什么样的矩阵可以与对角矩阵相似?(2)怎样求出对角矩阵?(3)怎样求可逆阵P ?6????????????????nA????21~,,则An???? 矩阵的相似对角化7nI??????????????21??????n??????????????,,,的全部特征值是:???,的特征值相同与?A?.21nA???,,,的全部特征值是:??证8定理n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有n个线性无关的特征向量.:个线性无关的特征向量有设nA,,,,21nPPP???nipAPiii,,2,1??????,21nPPPP??令???????????????n?????21,??PAP则证充分性???APP19??????????????????nAPP????211设??PAP则??nPPPP?21?设????nnnPPPAPAPAP?????221121?则??niPAPiii,,2,1????.,,,21个线性无关的特征向量的是nAPPPn??必要性10