文档介绍：摘要1
关键词1
Abstract1
Keywords1
前言1

对称矩阵的定义2
对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………3

对称矩阵可对角化的值为实数，所以齐次线性方程组
为实系数方程组，由知必有实的基础解系，.
例如，，，均为实数，而不是对称的.
定理2 设是实对称矩，定义线性变换,......(1)，则对任意向量，有或.
证只证明后一等式即可. .
定理3 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交.
证设是的两个不同的特征值，分别是属于的特征向量：,.定义线性变换如定理2中的（1），于是，.由，，.
定理4对任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成为对角形且对角线上的元素为的特征值.
证设的互不相等的特征值为，，恰有个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量，由知，，，则，其对角矩阵中的对角元素含个，…,个，恰是的个特征值.
对称矩阵对角化的具体方法及应用举例
定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，，具体步骤如下：
.
，由求出的特征向量.
，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组.
，作一个正交矩阵，它就是所要求的正交阵.
根据上述讨论，下面举例说明.
例1求一正交矩阵，将实对称矩阵化为对角阵.
解由于，的特征值为
，.
对，由得基础解系，
对，由得基础解系，，与恰好正交，所以，，两两正交.
再将，，单位化，令，得，，
，于是得正交阵，
则.
例2设，求.
解（1）先将对角化求出正交阵.
，.
由，分别得基础解系，.则
，，则.
（2）利用求.
.

二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，.
正定矩阵的定义
定义1实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有.
定义2实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.
由定义可知：
1. 二次型是正定的，因为只有在时，，不难验证，实二次型
.
2. 任意阶实对称矩阵正定就是指，对于任意维非零列向量，都有.
3. 复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可.
4. 正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，，设、都是阶正定矩阵，则对于任意非零列向量，有，，那么，
，所以仍是正定矩阵.
定理1 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.
证设二次型经过非退化实线性替换变成标准形（1）.上面的讨论表明，正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当，即正惯性指数为.
由定理1可以得到下列推论：
1. 实对角阵正定的充要条件是.
2. 实对称矩阵正定的充要条件是的秩与正惯性指数都等于.
3. ，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，
可对角化为，是的特征值，正定即二次型正定，而的标准形为，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有，的特征值全为正.
定理2实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.
证由定理1可知，正定二次型的规范形为，而规范型的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.
由此得：
与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使，两边取行列式，就有.
2. 正定矩阵的逆仍是对称矩阵，又与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵使，两边取逆，令，则，所以也与单位矩阵合同.
有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：
定义3 子式称为矩阵的顺序主子式.
定理3 实二次型或矩阵是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.
证必要性：，
，，有
.，的矩阵的行列式，.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.
充分性：对作数学归纳法