文档介绍：广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者
证明:∵=
=
所以当3<1时，即<时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散．
前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．
〔积分第二中值定理〕设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，那么存在ξ[a,b] 使
=
，我们先讨论以下特殊情况．
(x)在[a, b]上单调下降并且非负，函数g(x)在[a,b]上可积，那么存在c[a,b]，使
=f(a)
证明：作辅助函数= f(a) 对[a,b]的任一分法
P: a=x0<x1<x2<…<xn=b
我们有
=
由此得到
|－|
=||
△xi
这里L是|g(x)|在[a,b]的上界, 是在上的振幅，从这个估计式可知, 当时,应当有
我们来证明
为此，引入记号
G(x)=
并作如下变换
=
=
=
= 〔〕
=
因为, ,
所以
=
{}
=
同样可证
我们证明了不等式
即
现令|p|, 取极限，就得到
因此，存在c[a,b]，使得
= 〔因为在［］上是连续函数〕
也就是= 证毕
证明：如f(x)是单调下降的，那么f(x)－f(b)单调下降且非负，，存在c[a,b, 使
=
即
=
对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.
使用积分第二中值定理，我们得到以下一般函数的广义积分敛散性的判别法
假设以下两个条件之一满足，那么收敛
〔1〕〔Abel判别法〕收敛，g(x)在[a,]上单调有界;
〔2〕〔Dirichlet判别法〕设F(A)=在[a,]上有界，g(x)在[a,上单调, 且g(x)=0.
证明：〔1〕, 设|g(x)|M，[a,), 因收敛，由Cauchy收敛原理，, 使时, 有
由积分第二中值定理，我们得到
+=
再由Cauchy收敛原理知收敛
(2) 设M为F(A)在[a,+上的一个上界，那么, 显然有
同时, 因为g(x)=0，所以存在, 当x>A0时, 有
g(x)|<
于是，对有
+=
由Cauchy收敛原理知收敛
讨论广义积分的敛散性，
解：令f(x)=, g(x)=cosx
那么当x时，f(x)单调下降且趋于零，
F(A)= =在[a,上有界．
由Dirichlet判别法知收敛，
另一方面
因发散，收敛
从而非负函数的广义积分发散
由比拟判别法知发散，
所以条件收敛
讨论广义积分的敛散性．
解：由上一题知，广义积分收敛, 而arctanx在[a, +上单调有界，所以由Abel判别法知收敛。
另一方面, 当时, 有
前面已证发散
由比拟判别法知发散, 所以条件收敛.
对瑕积分也有以下形式的Abel判别法和Dirichlet判别法
，那么收敛：〔b为唯一瑕点〕
〔1〕〔Abel判别法〕收敛, g(x)在[a,上单调有界
(2) (Dirichlet判别法) =在[a, 上有界, g(x) 在(上单调, 且.
证明: (1) 只须用第二中值定理估计
(1) 的作法完成(1)的证明.
(2) (2) 的作法完成(2)的证明.
讨论积分 (0<p2) 的敛散性
解: 对于0<p<1 , 因为
由收敛知
绝对收敛敛
对于0p<2, 因为函数f(x) =, 当时单调趋于0, 而函数
g(x)=
满足
所以积分
收敛.
但在这种情况下,
是发散的,
事实上
由
因发散, 收敛, 知 发散
从而当0p<2