文档介绍：量纲分析
量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有。
b、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c、可用来建立物理方程式的结构形式。
下面我们来看几个典型的例子：
例:单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线
的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置θ
后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求
摆动周期 t的表达式
解：在这个问题中有关的物理量有t,m,l,g,设它们之间有关
系式
t=kmalbgc
其中 a\b\c 为待定常数，k是无量纲的比例系数则有量纲
T=MaLb+cT-2c
得：a=0 ,b+c=0 , - 2c=1
a=0 b=1/2 ,c=-1/2 t=kl1/2g-1/2
例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速
度g有关。试求位移s的表达式。
解： s=Kgatb
L=（LT-2）aTb
根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则
L a=1 T -2a+b=0
得出：a=1,b=2
s=Kgt2
例题b:液体在恒定水头H作用下从面积为A的孔口
流出，v与H、ρ、g和μ有关。试求v的表达式。
量纲分析法
量纲分析法有两种：雷利法和π定理
雷利法
1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
对某一物理现象，主要因素为y、x1，x2、…、xn。它们之间待定的函数关系为
2、量纲只能由基本量纲的积和商导出；而不能相加减，写出各物理量之间的指数乘积的形式，
式中，k为无量纲数，α1、α2、...、αn为待定指数；
3、表示为基本量纲指数乘积的形式。
[LaTbMc]=[La1Tb1Mc1]α1 [La2Tb2Mc2]α2…[LanTbnMcn] αn
4、根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数关系式
a=a1α1+a2α2+….+anαn [L]
b=b1α1+b2α2+….+bnαn [T]
c=c1α1+c2α2+….+cnαn [M]
解上式，求出特定指数α1、α2、...、αn。但因方程数只有三个，当n>3时，则有(n-3)个指数需用其他指数值的函数来表示。得到表示诸因素间的函数关的方程式。
分四步：找物理量 找全、找准
写表达式 A=KA1aA2bA3c
确定指数 量纲和谐原理
确定关系数 A=KA1aA2bA3c
实验揭示，流动有两种状态:层流和湍流，实验指出，恒定有压管流的下临界流速vcr与管径d，流体密度 p 流体动力粘度μ有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。
解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为
vcr=f(d,ρ,μ)
将上式写成指数乘积的形式为
再写成量纲方程为
列方程
解得α3=1，α2=-1,α1=-1将这些指数值代人指数乘积函数关系式
例2 作用在车厢式货车上的风力
假设:
(1)影响作用在车厢式货车上的风力的主要因素有车速v,货车暴漏在风向上的表面积A,风的密度ρ
(2)作用在车厢式货车上的风力和车的速度的某次幂和接触面积的某次幂以及风的密度的某次幂的乘积成正比,即
三 布金汉（Buckingham）p定理
6-1-4 π定理
1、 确定n 个物理量方程；
2、其中可选出m（一般3个）个变量在量纲上是互相独立的，（在管流中，一般选d、v、密度；在渠流中，一般选H、V、密度）其余（n-m）个变量是非独立的；那么，此物理方程，必然可以表示为(n-m)个无量纲数的物理方程式，
式中．π1，π2，……，πn-m为（n-m）个无量纲数，这些无量纲数是用π来表示的；所以称为π定理。π定理在1915年由布金汉（)提出，又称为布金汉定理。
4、无量纲的π项的组成，可