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勾 2 2
∴(AB ⋅ BB1 ) + (AC ⋅CC1 ) = (BC ⋅ BB1 )
∴S 2 + S 2 = S 2
AA1B1B AA1C1C BB1C1C
[探究 2-2]猜测:斜三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC ， 则
S 2 + S 2 = S 2
AA1B1B AA1C1C BB1C1C
上述猜测不成立,反例如下:
° ο
令 AB = AC = AA1 = 2 , ∠BAA1 = ∠CAA1 = 60 , ∠BAC = 90
∴S==⋅⋅∠= S AA AC Sin CAA 23
AA11 B B AA 11 C C 11
∴S 2 + S 2 = 24
AA1B1B AA1C1C
又易知 BC ⊥ C1C , BC = 2 2 , C1C = 2
∴S 2 = (BC ⋅C C) 2 = 32
BB1C1C 1
∴S 2 + S 2 ≠ S 2
AA1B1B AA1C1C BB1C1C
[点拨 3] 注意到直角三角形的勾股定理等价于矩形中的对角线定理“矩形各边平方的和
等于矩形两对角线的平方和”，后一定理可否类比到平行四边形，甚至一般的四边形
中而得到推广呢？
[探究 3-1]猜测: 平行四边形 ABCD中，有 AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 .
上述猜测成立，证明如下：设 AE ⊥ BC 于 E ， DF ⊥ BC 于 F ，则 BE= CF
Q AC222=+= AE EC()() AB 22 − BE +− BC BE 222 =+−⋅ AB BC 2 BC BE
BD 2 = DF 2 + BF 2 = (DC 2 − CF 2 ) + (BC + CF) 2 = DC 2 + BC 2 + 2BC ⋅CF
= CD22++⋅ DA2 BC BE
∴ AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2
[探究 3-2]猜测:任意四边形 ABCD 中，有 AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2
上述猜测不成立，反例如下：
等腰梯形 ABCD中，AB ∥ CD ，AD = BC ，∠A = ∠B = 45ο , AB = 3DC = 3
- 2 -设 DE 、 CF 垂直 AB 于 E 、 F ，易知 AE = EF = FB = DE = CF = 1
∴ AC 2 = FC 2 + AF 2 = 5 ，同理 BD 2 = 5
∴ AC 2 + BD 2 = 10
又 AD = BC = 2
∴ AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 14
∴ AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 ≠ AC 2 + BD 2
[点拨 4] 把探究 3-1 的结论进一步推广到空间，可将平行四边形与平行六面体类比，只
需平行四边形的四条边与平行六面体的四个侧面类比，平行四边形的二条对角线与
平行六面体