文档介绍：曲面积分与曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功：
设在xOy面内有一个质点，在变力F(x, y)P(x, y)iQ(x, y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(曲面积分与曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功：
设在xOy面内有一个质点，在变力F(x, y)P(x, y)iQ(x, y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(x, y) 所作的功．
O
x
y
A
B
F(x , y)
L
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功：
O
x
y
A
B
L
用点AA0，A1，A2，· · · ，An1，AnB把L分成 n个小弧段，
A1
A2
Ak
Ak+1
An-1
F(xk , yk)
显然，变力F(x, y)沿有向小弧段
AkAk+1 所作的功可以近似为
[P(xk , yk)costk Q(xk , yk)sintk]sk ．
则
于是，变力F(x, y)所作的功
从而
这里tt(x, y)，{cost, sint}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致
的单位切向量．
对坐标的曲线积分的定义：
设L为xOy面上一条光滑有向曲线，{cost, sint}是与曲线方向
一致的单位切向量，函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义．如果下列
二式右端的积分存在，我们就定义
对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分．
定义的推广：
设G为空间内一条光滑有向曲线，{cosa, cosb, cosg}是曲线在
点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x, y, z)、
Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义．我们定义(假如各式右端的积分
存在)
对坐标的曲线积分的简写形式：
对坐标的曲线积分的性质：
(1) 如果把L分成L1和L2，则
(2) 设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则
二、对坐标的曲线积分的计算
应注意的问题：
下限 a 对应于 L 的起点，上限 b 对应于L的终点，a不一定
小于b ．
定理：设P(x, y)、Q(x, y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数
方程为
当参数t单调在由a 变到b 时，点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终
点B，则
(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1)．
O
x
y
A (1, 0)
B(1, 1)
yx2
xy2
(1)抛物线yx2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；
(2)抛物线xy2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；
=0+1=1．
解 (3)L=OA+AB，
点B(0, 0, 0)的直线段．
x3t，y2t，xt，t从1变到0．所以
例5 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用，F的大小与M 到
原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点．此质点由点A(a, 0)沿
按逆时针方向移动到点B(0, b)，求力F所作的功．
解椭圆的参数方程为
由假设有Fk(x iy j)，其中k>0是比例常数．于是
O
x
y
A
B
a
b
xa cos t，
yb sin t ，
F
三、两类曲线积分之间的联系
由定义，得
即
类似地有
若令F{P, Q, R}，T{cosa , cosb , cosg}为有向曲线弧G上点
(x, y, z)处单们切向量，drT ds {dx, dy, dz }，则上述关系可写为
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