矩阵分析课件.ppt

文档介绍：关于矩阵分析
第一页，共146页幻灯片
线性空间
一、线性空间的概念
几何空间和 n 维向量空间的回顾
推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。
（P .1）
组基：
过渡矩阵C的性质：
C为非奇异矩阵
C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
则
过渡矩阵
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2 坐标变换公式
已知
空间中两组基：
满足:
: ;
讨论X和Y的关系
X=CY
1
2
3
第十三页，共146页幻灯片
例题4、 已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ }
求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。
求向量 在基（II）的坐标Y。
例题3、（P6例题11）
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§ 五、 子空间
概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可以有集合的运算和关系：
Wi V， W1W2， W1W2，
问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 ？
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1、 子空间的概念
定义： 设集合WVn（F），W ，如果W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线性空间，则称W是Vn（F）的子空间。
判别方法：定理1·5
W是子空间  W对Vn（F）的线性运算封闭。
子空间本身就是线性空间。
子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法
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重要的子空间：
设向量组｛1，2，···， m｝Vn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间：
L{1，2，···，m } = ｛ }
矩阵AF m×n，两个子空间：
A的零空间：N（A）=｛X ： AX=0｝F n，
A的列空间：
R（A）= L{A1，A2，···，A n｝F m，
Ai为A的第i列。
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2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 Vn（F），W2  Vn（F），且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？
（1）   交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F）
定理1·6  W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，
W1W2  W1＋W2
定理1·6  W1＋W2是子空间，被称为“和空间”，
W1W2不一定是子空间，W1W2  W1＋W2
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例1·7 设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}
求和空间W1＋W2。
比较：集合W1W2和集合W1＋W2。
如果 W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
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3 、维数公式
子空间的包含关系：
dimW1W2  dim Wi  dimW1＋W2  dimVn（F）。
定理1·7 ：
dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）
证明：
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4 、子空间的直和
分析：如果dim（W1W2）0，则
dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2
所以：
dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2
 dim（W1W2）=0
 W1W2={0}
直和的定义：
定义1·6 ： dim（W1W2）=0 ，则和为直和
W=W 1＋W2=W1W2，
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子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ：
定理1·8 设W=W1＋W2，则下列各条等价：
（1）          W=W1W2
（2）          X W，X=X 1＋X2的表