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班 XX 14 号
初中二次函数的解题方法
首先回忆一下初中二次函数的重要性质和根本表达式：
一般式 ： y=ax2+bx+c(a ≠0,a 丰富的内涵，因此，在近几
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年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。
例 1 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 (4 ，－11) ，且与 x 轴的两
个交点的横坐标为一正一负．那么 a、b、c 中为正数的〔 〕
A、只有 a B、只有 b C、只有 c D、有 a 和 b
解：由顶点为 (4 ，－ 11) ，抛物线交 x 轴于两点，知 a>0．设
抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2，即 x1、x2 为方
程 ax2+bx+c=0 的两个根，由题设 x1x2<0 知 c <0，所以 c<0，又对
a
称轴为 x=4 知－ b
2a
>0，故 b<0．应选 (A) ．
例 2 二次函数 f ( x)= ax2+bx+c 的系数 a、b、c 都是整数，
并且 f (19)= f (99)=1999 ， | c|<1000 ，那么 c= ．
解：由 f ( x)= ax2+bx+c，且 f (19)= f (99)=1999 ，因此可设 f ( x)= a( x－19)( x－99)+1999 ，
所以 ax2+bx+c=a( x－19)( x－99)+1999
=ax2－(19+99) x+19×99 a+1999，故 c=1999+1881a．
因为 | c|<1000 ，a 是整数， a≠0，经检验，只有 a=－1 满足，
此时 c=1999－1881=118．
例 3 a，b，c 是正整数，且抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴
有两个不同的交点 A，B，假设 A、B 到原点的距离都小于 1，求 a+b+c
的最小值．
解：设 A、B 的坐标分别为 A( x1，0) ，B(x2，0) ，且 x1<x2，那么
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x1， x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根．
x1 x2
b
0,
a
∴
∴x1<0，x2<0
c
x1 x2
0,
a
又由题设可知△= b2－ 4ac>0，∴ b>2 ac
①
∵|OA|=|
x1|<1 ， |OB|=| x2|<1 ，即－ 1<x1，x2<0，
∴ c =x1x2<1，∴ c<a
②
a
∵抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上，且当 x=－1 时 y>0，
a( －1) 2+b( －1)+ c>0，即 a+c>b．
∵b， a+c 都是整数，∴ a+c≥b+1 ③
由①，③得 a+c>2 ac +1，∴( a c ) 2>1，又由②知，
a c >1， a c +1，即 a>( c +1) 2≥( 1 +1) 2=4
∴a≥5，又 b>2 ac ≥2 5 1 >4，∴ b≥5
a=5， b=5，c=1 时，抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意．
a+b+c 的最小值为 5+5+1=11．
例 4 如果 y=x2－( k－ 1) x－ k－1 与 x 轴的交点为 A，B，顶
点为 C，那么△ ABC的面积的最小值是〔 〕
A、1 B 、2 C 、3 D 、4
解：由于△ =( k－ 1) 2+4( k+1)=( k+1) 2+4>0，所以对于任意实数
k，抛物线与 x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为
x1，
x2，那么：
|AB|= ( x1 x2 ) 2
( x1 x2 )2
4x1 x2
k 2
2k 5
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又抛物线的顶点 c 坐标是 (
k
1 ,
k 2
2k
5 ) ，
2
4
△ABC
1
k
2
2
k