文档介绍：第二类曲面积分的计算方法
赵海林张纬纬
摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，
积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
关键词第二类曲面积分定义法i)J
Si1
s cos
ixy
由曲面面积公式Si^Ldxdy,其中是曲面Si的法线方向与z轴正向的交
角，，
光滑的，，在Si内必存在一点，使这xyxy
点的法线方向与z轴正向的夹角i满足等式Si-^―
cosiy
于是R(i，i，i)SxyR(i，i，i)cosi§.n个部分相加后得
nn
R(i,i,i)SixyR(i,i,i)cosiSi(2)
i1yi1
现在以cosi表示曲面S在点(x,yi,Zi)的法线方向与z轴正向夹角的余弦，则由
cos的连续性，可推得当||T||0时，⑵(1)式得到
Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cosdS(3)
SS
这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，
而cos也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.
同理可证：
Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cosdSS
Q(x, y,z)cos R(x, y, z)cos ]dS
(5)
其中，分别是S上的法线方向与
[P(x,y,z)cos
S
3介绍第二型曲面积分的多种计算方法
尤其是第二型曲面积分的计算是一个重
在数学分析课程中，有关曲面积分，
点、也是一个难点问题，学生在学****过程中往往对这一问题感到束手无策、无从
下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及
其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面，也表明学生对这一计算问题缺乏必
，参数法，
单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用stokes公式求解，利
用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
直接利用定义法进行计算
若R(x,y,z)在光滑有向曲面S：zzx,y,x,yDxy上连续，则R(x,y,z)dxdy存在,S
且有计算公式：
其中Dxy表示S在xoy面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“”号,
取下侧时取“”，计算曲面积分R(x,y,z)dxdy时，只要把其中变量
S
z换为表示三的函数zz(x,y),然后Dxy在S的投影区域上计算二重积分，并考虑到符
号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.
类似地，如果曲面的方程yy(z,x),则
如果曲面三的方程为xx(y,z),则
例1计算积分：
其中S是球面x2y2z21在第一、八卦限的部分，取球面外侧.(如图1)
解设S12,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为：
1：z1=小~x2~y22:z2=-4_x2~~^
它们在xoy面上的投影区域Dxy都是单位圆在第一象限的部分.
xyzdxdyxyzdxdy+xyzdxdy
图1
计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆，第二型曲面积分是
按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢
记口诀：“一代二投三定向”.请看下例：
例2计算:
22...2..
Ixdydz+ydzdx+zdxdy,
S
其中曲面S为球面x2y2z1限于x2y2x0,z0内的部分外侧（如图
2）.
解对于x2dydz,要将S投影到yoz面上，且S方程表示
S
为xJiy2z2,取前侧，由x2y2z21,x2y2x0,消去x得
yz加~z7,因此投影区域Dyz：—z>/1~z2yz71~z2,于是
计算y2dzdx,要将S投影到zox面上，此时S方程表示为
S
yJix2z2（不是单值的），再把S分为左片（即y0的部分）且取左侧和右片
（即y0的部分）且取右侧，S在zox面上投影域为Dzx:、1G<z<TTV（注意投影区域不是一条曲线），因此
/..
Dzx
(\1xz)dzdx+( .1xz)dzdx
Dzx
对于z2dxdy,要将S投影到xoy面上，投影域为Dxy:x2y20,此时S方程
S
应为z也x2—y",且取上侧，于是z2dxdy=（，1x2y2）2dxdy=
SDxy
— cos 2
2 02d 0 (1 r )rdr
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