文档介绍：数值分析考试复****总结
第一章
误差
相对误差和绝对误差得概念
例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?
答: 实际问题-数学模型-数值方法-计数和节点均待定
3 分段插值多项式近似代替 〔分段求积〕复化求积公式
复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值
分而治之： 分段＋低次求积公式---------- 称为复化求积法
两类低次〔〕求积公式：
Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
Gauss型： 一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式〔〕
复化辛甫生公式: 〔每个上用辛甫生公式求积〕
，为的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式：
复化柯特斯公式
其中，，为的中点，
，为的四等分的分点
自适应复化求积法
计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握
因为，取得太大那么精度难以保证，太小那么增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
步1
步2
步3 判断？假设是，那么转步5；
步4 ，转步2；
步5 输出 .
第五章
1: 常用方法:
(1).直接解法：
逐步〔顺序〕消去法、
主元素法、矩阵分解法等；
(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超松弛〔SOR〕迭代法等；
②. Krolov子空间的迭代法
根据的对称性，又分为：
对称正定------- 共轭梯度法
非对称--------- BICG 、 GMRes(最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
2: 几类迭代法优缺点比拟:
3: 迭代方法
目标： 求解 其中，非奇异。
根本思想：
把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解
关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。
构造迭代格式根本步骤：
将分裂：， 其中，非奇异
构造迭代格式
其中，称之为迭代矩阵 ,
其中，为的剩余向量
此时，
常用的迭代方法
将分裂为
其中
，,
Jacobi迭代方法
假设，迭代格式
①
其中 Jacobi迭代矩阵：
①式可写为分量形式
. 〔*1〕
方法〔*1〕或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss—Seidle迭代方法
假设，迭代格式
②
其中，
Gauss-Seidel迭代矩阵：
其分量形式
,. 〔*2〕
即，
在计算新分量时，利用新值，。
迭代法〔*2〕或②称为Gauss—Seidel迭代方法 。
超松弛方法(SOR)方法
定义SOR方法的迭代格式如下：
,
〔*3〕
称为松弛因子，即为方法.
其矩阵形式
其中，
SOR法的迭代矩阵：
.
第七章
1: 解非线性方程与方程组的方法:
准确方法
如：用求根公式对次的代数多项式求根。
但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。如： 次的代数多项式并无求根公式。
数值方法〔实际中大多采用〕
根本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。
(1).区间套法—— 二分法。
(2).迭代法：
①.简单迭代法； ②. Newton迭代法;
. 割线法; .加速算法。
2: 收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1 如果 满足以下条件:
1) , ;
2) 常数 : , 使得对任意两点 ,都有
,
那么: 方程(*)在 上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(* *) 所产生的序列收敛到.
例题:
2. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写为以下等价形式，并建立相应的迭代公式：
〔1〕，迭代公式
〔2〕，迭代公