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齐次线性方程组的基础解系及其应用
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齐次线性方程组的基础解系及其应用
齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：
（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A)<n；
（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；
（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；
（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n，则任意n-r(A)个线性无关的解都是
基础解系。
定理1:设A是的矩阵，B是的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)
分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。
证：设，则，AB=0，即
所以
所以，都是齐次线性方程组AB=0的解
r(B)=秩
所以 r(A)+r(B)
评论：AB=0，对B依列分块，时处理此类问题的惯用方法。
例1：要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵为
(A)[-2 1 1 ] (B) (C) (D)
解：由答案之未知量的个数是3。都是线性方程组的解，并且
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线性无关，
所以 .只有（A）是正确的。
例2：设n阶方阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解
为 .
解：记，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零, 所以，
且A的秩为n-1，所以就是七次线性方程组AX=0的基础解系，