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第一章
1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：
（1）先取出的零件是一等品 =
=
=
=
2. 设连续型随机变量X，Y相互独立且服从同一分布，证明 P (X ≤ Y)=.
证明： 不妨设X，Y的密度函数为 ，于是由X与Y 相互独立得（X，Y）的联合密度为
于是 P (X ≤ Y) =
由于被积函数关于对称，故
但
其中表示整个平面，所以
即P (X ≤ Y)=.
3. 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二等品数，试求：
（X，Y）的联合分布律
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（X，Y）关于X和Y的边缘分布律
X和Y是否相互独立？
在X=1 的条件下Y 的条件分布。
分析： 由题意知X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3。因此用古典概型分别计算它们的概率即可
解： （1）因为当
而当
分别将代入计算可得（X，Y）的联合分布律如下表
Y
X
0
1
2
3
2
Y
0
1
0
0
0
0
Y
0
0
（2）由联合分布律易得两个边缘分布律为
X
Y
0
1
2
0
1
2
3
X
X
X
X
X
（3）因为P（X=1，Y=0）=0，但
P（X=1）=，P（Y=0）=，
故P（X=1，Y=0）P（X=1）P（Y=0）。
所以X与Y 不相互独立
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因为P（Y= j | X=1）= =
而于是在X=1的条件下Y的条件分布为
1
2
1/4
3/4
4. 设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（X，Y）| 0<x<1,|y|<x}，试求（X，Y）关于X 和关于Y的边缘密度和条件密度
分析： 求边缘密度时，首先确定随机变量的取值范围，X（或Y）的取值范围是二维随机变量（X，Y）的取值范围在X轴（或Y轴）上的投影，在取值范围外，密度函数的值为0
解： 易知D的面积为1，故 (x,y) 的联合密度函数为：
1，
0，其他
因X的取值范围为（0，1），于是当 0<x<1 时，
又Y 的取值范围为（-1，1），于是当 时
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故：
因为在Y=y 的条件下，当 时 ，X 的条件下分布不存在；当 时， 故 X的条件密度函数为
同理可得：
5. 某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率密度为
假设各周的需求量相互独立，以 表示k周的总需求量
求的概率密度
求接连三周中的周最大需求量的概率密度。
分析： 若以表示第周的需求量 则相互独立且同分布，
，从而问题归结为求随机变量的函数的分布
解： 利用卷积公式
设表示第周的需求量 表示三周中的周最大需求量，于是
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，且与同分布
由卷积公式，的密度为
因为的分布函数为
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故 的密度函数为
6. 设随机变量与相互独立，的密度函数为，的分布律为
试求的密度函数
分析： 这是一个求两个随机变量的和函数的分