文档介绍：第六章 二次型与对称矩阵
二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工 程应用中都占有重要地位。
§1 二次型及其矩阵
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：
把方程化为标准形
整理ppAP=B
对于n阶矩阵A、B, 如果有n阶可逆矩阵P使得
令 B=PTAP，则B是对称矩阵，yTBy是新变量
y1,y2, …,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩
阵A、B间的这种关系称为合同关系。
注：合同必等价，反之不真。
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显然，合同矩阵具有如下性质：
2）对称性：若 ，则 ;
1）反身性： ；
3）传递性：若 ， ,则 ;
4）若 ，则R(A)=R(B);
5）若 ，且A为对称矩阵，则B亦为 对称矩阵。
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f(x)= xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。
显然，如果二次型xTAx经可逆的线性变换 x=Py
化为二次型 yTBy，则必有 ，即
※合同与相似是两个互相独立的概念。合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同。（参见P170(A)3、4题）但是，对于实对称矩阵A，当合同因子P是正交矩阵时，由于P-1= PT，所以对A的合同变换与相似变换是一致的。
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综上所述，二次型f(x)= xTAx能用可逆的线性变换x=Py化为yTBy的充分必要条件是有可逆矩阵P，使PTAP=B。
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§2二次型的标准形
称只含有平方项(不含交叉项)的二次型
为二次型的标准型（或法式）。
（6）
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显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩阵为对角矩阵。
所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：
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即
设A为n阶对称矩阵，二次型
f(x)= xTAx能用可逆线性变换x=Py化为标准
形（6）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩
阵P使PTAP=B=diag(b1,b2, …，bn).
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，二次型经可逆线性变换化为标准形的问题与对称矩阵化为对角矩阵的问题实质上是同一问题。
显然，经可逆变换 x=C y 把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。
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用正交变换化实二次型为标准形
对于任意的n元二次型f(x)= xTAx，
必有正交变换x=Py，使f化为标准形
其中λ1,λ2, …，λn恰是A的全部特征值。
（书P171）
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(x)= xTAx标准型问题，其实质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题。
其中λ1,λ2, …，λn恰是A的全部特征值。由定
。
PTAP=P-1AP= diag(λ1,λ2, …，λn)，
证明 由于A为n阶对称矩阵。
知有n阶正交矩阵P，使得
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：
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解 1）二次型的矩阵为
例1. 求一个正交变换x=Py，把二次型
（）
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得A的特征值为λ1=-3，λ2=λ3= λ4=1，
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由(A-λE)x =0,求A的全部特征向量，当λ1=-3时，
解方程(A-3E)x =0.
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得基础解系
单位化，得
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k2,k3,k4不同时为零.
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取
单位化，得
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（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交变换x=Py,即
5）用正交变换x=Py将f化成标准形
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例2 试求实二次型
的标准形。不要求给出所用的可逆线性变换。
解 实二次型 f 的矩阵为
依题意，只要求出A的特征值就可以了。由
（）
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用拉格朗日配方法化二次型为标准形
解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一类，配方得：
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所用的线性变换为