文档介绍：-
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对应曲线的终点，则 。
〔七〕关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨根本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则
2．复合闭路定理： 设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于，则
① 其中与均取正向；
②，其中由及所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域内解析，为在内的一个原函数，则
说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，则
6．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为
其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于
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。
7．重要结论：
。 〔是包含的任意正向简单闭曲线〕
8．复变函数积分的计算方法
1〕假设在区域内处处不解析，用一般积分法
2〕设在区域内解析，
是内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，
是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，则有
3〕设在区域内不解析
曲线内仅有一个奇点：〔在内解析〕
曲线内有多于一个奇点：〔内只有一个奇点〕
或：〔留数根本定理〕
假设被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。
〔八〕解析函数与调和函数的关系
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1．调和函数的概念：假设二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，
为内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
解析函数的实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部的共轭调和函数。
两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数；但是假设如果满足柯西—
黎曼方程，则一定是解析函数。
3．解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。
1〕偏微分法：假设实部，利用条件，得；
对两边积分，得 〔*〕
再对〔*〕式两边对求偏导，得 〔**〕
由条件，，得，可求出 ；
代入〔*〕式，可求得 虚部 。
2〕线积分法：假设实部，利用条件可得，
故虚部为；
由于该积分与路径无关，可选取简单路径〔如折线〕计算它，其中与 是解析区域中的两点。
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3〕不定积分法：假设实部，根据解析函数的导数公式和条件得知，
将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函数，故
〔为实常数〕
注：假设虚部也可用类似方法求出实部
〔九〕复数项级数
1．复数列的极限
1〕复数列〔〕收敛于复数的充要条件为
〔同时成立〕
2〕复数列收敛实数列同时收敛。
2．复数项级数
1〕复数项级数收敛的充要条件是级数与同时收敛；
2〕级数收敛的必要条件是。
注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
〔十〕幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式或为幂级数。
2．幂