文档介绍：1
1
1
1
#
#
1
'A不可逆
r（A） c n
A =o= { Ax = o有非零解
0是A的特征值
A的列（行）向量线性相关
「A可逆
r（ A） = n Ax = 0只有零解
元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 •
向量组：\,〉2，…；—中任一向量：i （1 wi w n）都是此向量组的线性组合•
10
5
#
向量组：'i/'2, ■■； ：'n线性相关二向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示•
向量组〉1，〉2，■■； ：'n线性无关二向量组中每一个向量〉i都不能由其余n-1个向量线性表示•
⑧m维列向量组、「，、•；_2,…皿n线性相关二r(A) ::: n ；
m维列向量组.；s…沁n线性无关二r(A) = n .
r (A) =0二 A = - .
若：'1^'2, ■■/ :'n线性无关，而：'i^-2^-^'n,-线性相关,则］可由:'1,〉2 ,’n线性表示，且表示法惟
?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数•
?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价| «1^2, ^n和貝，氏，「电可以相互线性表示•记作：b iS，…，Gn｝：｛f「Bn｝ 矩阵等价| A经过有限次初等变换化为B .记作：A二B
?矩阵A与B等价二r(A) =r(B) = . A, B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵 A 与 B 作为向量组等价二「(J,〉2「；〉n)=r(；,-：2「「：n)F(〉1，〉2「「n，U2，・J：nU 矩阵A与B等价.
?向量组'I, -2, ■■/ ：s可由向量组〉1,〉2, ■■^'n线性表示
U r (: 1, ＞2,…〉n, ：1 , ：2，…；：s) = r(亠，＞2,…；〉n) = r( ^, -2^ ■, ：s) ＜「(〉i,〉2,…,〉n ) •
?向量组\, ：2, ■■/ 's可由向量组〉1，〉2,…；〉n线性表示，且S n，则I，、，…Js线性相关. 向量组］,・••,•・线性无关，且可由二，〉2,…，亠线性表示，则s ＜ n.
?向量组-1, -2, -S可由向量组亠，＞2, ［〉n线性表示，且rC，…「S)=「(亠，〉2,…*n),则两向
量组等价；
6
11
#
?任一向量组和它的极大无关组等价.
?向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等.
?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.
12
5
#
?若A是m n矩阵，则r(A)空min fm, n?,若r(A)=m , A的行向量线性无关;
若r(A) =n , A的列向量线性无关,即:
二1，二2，…,' 一订线性无关.
#
#
#
#
#
#
线性方程组的矩阵式
Ax
向量式
Xi： 1 - X2〉2 丁…■■- X^- n
aii
a21
ai2
a22
ami
am 2
ai
，X =
X2
a
,P =
b2
m
[
Xn _
1 [
bm 一
Xi
bi
n
n
a2
am
S 1
«2j
：-j
L«mj
#
15
#
当A为方阵时
Ax = o有非零解
Ax二［有无穷多解
:::n ■：
#
#
#
=■亠，〉2,…，〉n线性相关
B可由a ―並，…，an线性表示二 Ax= B有解二r（A）=r（A：P）«
二 Ax = B有唯一组解「）Ax= o只有零解一岂为方丄|a式0
#
#
#
8
#
#
r (A) = r(A 二)
:::r (A 匚)
r(A) 1 二 r(A =)
当A为方阵时 '克莱姆法则
:不可由 冷，＞2，…，〉n线性表示 =Ax =:无解：=r （A）
矩阵转置的性质：
/ T、T
(A ) =A
T T T
(AB) = B A
T T
(kA) = kA
T
A
=|a
丄 T T . T
(A +B) = A + B
矩阵可逆的性质：
丄 -X
(A ) =A
_1 JL _1
(AB ) =