文档介绍：复合函数
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1、复合函数的定义
定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),
u 又是x的函数，记为u=g(x),
如果g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函y=f复合函数
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1、复合函数的定义
定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),
u 又是x的函数，记为u=g(x),
如果g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数.
即：x → u → y
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2、复合函数的定义域
若复合函数y=f[g(x)]，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：
(1)f(x)的定义域就是g(x)(x)的定义域为D，则y=f[g(x)]的定义域是使
有意义的x的取值集合。
(2)y=f[g(x)]的定义域为D，则g(x)在D上的取值范围(g(x)的值域)即为f(x)的定义域.
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3、复合函数的性质
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
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引理3：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。
引理4：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。
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复合函数的单调性
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”
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例题1、求 的单调区间.
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复合函数的单调性小结：
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
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(4) 若两个函数在对应的区间上的单调 性相同（即都是增函数，或都是减函数）， 则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
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