文档介绍：东北师范大学“明日乡〞公益支教团
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一元二次函数的图象
定义：
一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数. 其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、f(p)＞0
假设只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为x轴上的一点﹚，那么需满足：
┏△＝0
┗m＜﹣2a／b＜n
或f(m)·f(n﹚＜0
┏f(m)＝0
或
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┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2
┏f(n)＝0
或
┗﹙n＋m﹚／2＜﹣2a／b＜n
五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0, )
(,0)
(,)
()
六、二次函数图像的变换规律：
抛物线y=a(x-h)2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。
y=ax2〔a＞0〕的图像
.
y=-ax2〔a＞0〕的图像
当h＜0时，向左平移个单位长度，
当h＞0时，向右平移个单位长度
y=a〔x-h〕2的图像
当k＞0时，向上平移个单位长度
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当k＜0时，向下平移个单位长度
y=a〔x-h〕2-k的图像
写成一般形式
y=ax2+bx+c的图像
规律：在原有函数根底上“h值正右移，负左移，k值正上移，负下移〞
七、直线与抛物线的交点〔或称二次函数与一次函数关系〕
轴与抛物线得交点为()
与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
：
有两个交点抛物线与轴相交；
有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
没有交点抛物线与轴相离.
平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，(3)一样由根的判别式判定。
一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
程组有两组不同的解时与有两个交点;
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程组只有一组解时与只有一个交点；
③方程组无解时与没有交点.
抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线与轴两交点为 由于、是方程的两个根，故由韦达定理知：
八、二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．
当二次函数的图象与轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，那么一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根。
例5：观察函数的图象与x轴的交点，得出一元二次方程的根。
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可以看出：
抛物线与x轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,，-2,1.
抛物线与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，。
抛物线与x轴没有公共点，可知，方程没有实根。
归纳：一般地，从二次函数的图象可知，
如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标时，那么当及时方程的一个根。
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点〔〕，有一个公共点()，有两个公共点()。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根()，有两个不相等的实数根()。
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