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傅立叶变换在图像处理中的作用
摘要：本文具，但要把傅里叶变换应用到数字图像处理中，就必须要处理离散数据，而离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的提出使得这种数学方法能够和计算机技术联系起来。
（1）一维离散傅里叶变换及反变换：
单变量离散函数f(x)（x=0，1，2，…，M-1）的傅里叶变换F(u)定义为：
u=0，1，2，…，M-1
当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)
x=0，1，2，…，M-1
由欧拉公式 有：
（2）二维离散傅里叶变换及反变换：
图像尺寸为MN的函数f(x,y)的DFT为：
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其中u=0，1，2，…，M-1， v=0，1，2，…，N-1；u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量。
当给定F(u,v)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：
其中x=0，1，2，…，M-1， y=0，1，2，…，N-1；u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量。
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)是计算离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。离散傅里叶变换运算量巨大，计算时间长，即运算时间很长。而快速傅里叶变换的提出将傅里叶变换的复杂度由降到了，很大程度上减少了计算量。
令，，u=0，1，2，…，M-1
则，
傅立叶变换在图像处理中的重要作用：
1. 图像增强与图像去噪
绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；
2. 图像分割之边缘检测
提取图像高频分量
3. 图像特征提取：
形状特征：傅里叶描述子
纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
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4. 图像压缩
可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；
Matlab软件
Matlab是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。MATLAB 将高性能的数值计算和可视化集成在一起，构成了一个方便的、界面友好的用户环境，并提供了大量的内置函数。从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理、神经网络、图像处理、小波分析等领域的分析、仿真和设计工作，而且利用 MATLAB 产品的开放式结构，可以非常容易地对 MATLAB 的功能进行扩充，从而在不断深化对问题认识的同时，不断完善 MATLAB 产品以提高产品自