文档介绍：第8章主成分与因子分析主成分分析与因子分析的目的在于降维,即在众多存在的相关性的变量中,找出少数几个综合性变量,来反映原来变量所反映的主要信息,使问题简化。主要作用?能降低所研究的数据空间的维数;?可用于分析筛选回归变量,构造回归模型;?可用于综合评价;?可对变量进行分类导入案例:如何对学生成绩进行综合评价我国历来是采用原始分数报告学生的学****成绩,并作为选拔考试择优录取的重要依据。由于各科试题难度不同,学生各科成绩分布也不相同,因而用学生各科原始分数相加后的总分来反映学生个体在总体中的相对位置有较大的局限性。为了克服这种局限性,我国在1998年高考中开始实行用标准分录取新生。它是高考制度具体措施的一大改革。标准分是一种由原始分推导出来的相对地位量数,它是用来说明原始分在所属的那批分数中的相对位置的。但是截止到2007年,只有海南省还在使用标准分,其它省份都使用原始分录取新生。 用SPSS进行因子分析§ (ponents)含义:例:上衣尺寸主要包括领长、袖长、衣长、号领围、肩宽、臂围、胸围、腰围、臀围、袖宽等14 型个变量,显然它们是相关的,因此可以找出反映上衣特征的两个不相关的综合变量,就是上衣的号和型。如:(男)180/100A 、175/96A;(女)165/84A等F1********:儿童身高(X1)和体重(X2)两个变量之间的关系可以用散点图表示出来,。显然,这两个变量之间存在线性关系。现在以直线P1为横坐标,以该轴的垂直线P2为纵坐标,建立一个新的平面直角坐标系,则所有观测点均在坐标轴P1周围(即沿该方向观测值方差最大),而在坐标轴P2方向上的波动很小,可以忽略。这样,二维问题即可以降为一维问题,只取一个综合变量P1(主成分)即可。X2F2***θX1相当于在平面上做一个坐标变换,即按逆时针方向旋转角度θ,根据旋转变换公式,新旧坐标之间有如下关系1 1 2 11 1 12 22 1 2 21 1 22 2cos sinsin cosP X X u X u XP X X u X u Xq qq qì= + = +??í?= - + = +??主成分就是P个原始变量的某种线性组合;从几何意义上看,这些线性组合正是由X1,X2,…,XP构成的坐标系经旋转而产生的新坐标系,新坐标系使之通过变差最大的方向(或者说具有最大的样本方差)。:假设观测p 项变量(指标),记为X1,X2,…,Xp,取n件样品,原始数据资料阵为11 12 121 22 21 2ppn n npx x xx x xx x x轾犏犏犏=犏犏犏犏臌LLM M MLx指标1(X1)指标2(X2)指标p(Xp)……第1次观测值第n次观测值为找出主成分,寻求原变量X1,X2,…,Xp的线性组合Fi,其数学模型1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2p pp pp p p pp pp u X u X u Xp u X u X u Xp u X u X u Xì= + + +????= + + +??í?????= + + +??LLL LL模型可简写为P=u1X1+u2X2+…+upXp=UTX若令式中U=(u1,u2,…,up)T, X=(X1,X2,…,XP)T满足如下的条件:(1) Pi和Pj不相关,即1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2p pp pp p p pp pp u X u X u Xp u X u X u Xp u X u X u Xì= + + +????= + + +??í?????= + + +??LLL LLCov 0 ( ,1 2 )i jP P i j p= 1L( ,) ,,,)()(21ppDpDpD????)(?????pipiiiPDXD11)()(122221????ipiiuuu?(2) 主成分的方差依次递减,重要性依次递减,即称Pi为第i主成分(i=1,2,…,p)。(3) 总方差不变,即(4) 每个主成分的系数平方和为