文档介绍：讨论函数的对称性
宜城三中 官雄平 齐国辉
函数既是中学数学骨干知识的交汇点，又是数学思想方法的综合点,还是初等数学和高等数学的衔接点。函数的性质是竞赛和高考的重点和热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，其中包括函数自身的对称性和不同讨论函数的对称性
宜城三中 官雄平 齐国辉
函数既是中学数学骨干知识的交汇点，又是数学思想方法的综合点,还是初等数学和高等数学的衔接点。函数的性质是竞赛和高考的重点和热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，其中包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面，下面我们就这两个方面进展探究。
首先我们来看几个重要结论:
①假设恒成立，那么y=f(x）的图像关于对称；
②y=f（a+x)和y=f(b-x） 的图像关于对称；
③假设函数y=f(x)的图像同时关于点A（a，c）和点B（b,c）成中心对称(),那么y=f（x）是周期函数,且是y=f(x)的一个周期；
④假设函数y=f（x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(）,那么y=f（x）是周期函数，且是y=f(x)的一个周期；
⑤假设函数y=f（x) 图像关于点A（a,c)成中心对称,又关于直线x=b成轴对称 ()，那么y=f（x)是周期函数,且是y=f（x)的一个周期。
一、函数自身的对称性
=f(x)的图像关于点A(a,b）对称的充要条件是f(x）+f（2a-x）=2b
原理： 证明函数图像的对称性，即证明图像上的任意一点关于对称中心(或轴）的对称点仍在图像上。
证明：（必要性）设点P(x，y）是y=f（x) 图像上任一点，点P（x，y）关于点A(a,b）的对称点（2a——y）也在y=f(x） 图像上，2b-y=f(2a-x）即y+f(2a—x)=2b,故f（x)+f(2a—x)=2b,必要性得证。
（充分性）设点P（）是y=f(x) 图像上任一点,那么。即故点也在y=f(x）
图像上，而点P和点关于点A（a,b）对称,充分性得证。
推论:函数y=f(x) 图像关于原点O（0，0）对称的充要条件是f(x）+f（—x）=0
定理2. 函数y=f(x） 图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a—x)即f(x)=f（2a—x） （证明留给读者）
推论： 函数y=f(x）图像关于y轴对称的充要条件是f（x)=f(-x)
定理3.①假设函数y=f(x)的图像同时关于点A(a，c)和点B（b,c）成中心对称(）,那么y=f(x）是周期函数，且是y=f(x）的一个周期. （证明留给读者)
②假设函数y=f（x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（),那么y=f(x)是周期函数，且是y=f（x)的一个周期。
证明：由定理2知,函数y=f（x） 图像关于直线x=a和直线x=b成轴对称()，
那么有和即
和，
用代替x。得即， 是函数y=f(x）的一个周期.
③假设函数y=f(x) 图像关于点A(a,c）成中心对称，又关于直线x=b成轴对称 (),那么y