文档介绍：空间(kōngjiān)直角坐标系与向量
二、 向量(xiàngliàng)及其线性运算
一、 空间(kōngjiān)直角坐标系
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第一页，共53页。
Ⅶ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅵ
(lìrú)，
即，
对应(duìyìng)坐标是成比例的
再如，
对应坐标是成比例的
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（1） 空间(kōngjiān)两向量的夹角的概念：
类似地，可定义向量与一数轴(shùzhóu)或空间两数轴(shùzhóu)的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
(xiàngliàng)在轴上的投影
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空间一点(yī diǎn)在轴上的投影
向量(xiàngliàng)在轴上的投影
过空间点A,B作平面与轴 u垂直，
与轴 u相交于A’, B’,向量 AB 在轴 u
上的投影定义为
AB
当 A’B’与u同向
当 A’B’与u反向
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在三个坐标轴
上的投影.
向量OA的坐标a1, a2, a3分别是
OA
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向量(xiàngliàng)在轴上的投影有以下两个性质：
u
上的投影等于向量的模乘以
(a)向量
AB
在轴
轴与向量的夹角的余弦：
证
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由性质（a）容易(róngyì)看出：
投影(tóuyǐng)为负；
投影(tóuyǐng)为零；
投影为正；
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（b）
（可推广到有限(yǒuxiàn)多个）
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(jǐ hé)意义
所以(suǒyǐ)，OAPB是平行四边形.
故
同理
x
y
O
A
P
a2+b2
b2
b1
a2
a1
a1+b1
设
则
如图2个三角形全等
B
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(1)加法(jiāfǎ)符合平行四边形法则
是以
为边的平行四边形的对角线.
加法(jiāfǎ)也符合三角形法则
减法(jiǎnfǎ)：
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加、减法(jiǎnfǎ)的几何意义
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向量的模的坐标(zuòbiāo)表示
由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)得
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（2）伸缩(shēn suō)变换
(1) > 0,
(2) = 0,
数乘的几何(jǐ hé)意义
(3) < 0,
例
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例 证明：三角形的中位线平行于底边(dǐ biān)且等于底边(dǐ biān)的一半.
证 设DE是中位线，
DE = DA + AE
= BC.
= BA + AC
= (BA + AC)
A
B
C
E
D
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试用向量(xiàngliàng)方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证明(zhèngmíng)
与 平行且相等,
结论(jiélùn)得证.
练一练
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第三十页，共53页。
空间(kōngjiān)两点间距离公式
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第三十一页，共53页。
平面两点间距离(jùlí)公式
空间两点间距离(jùlí)公式
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中点(zhōnɡ diǎn)的坐标：
中点(zhōnɡ diǎn)的坐标：
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第三十三页，共53页。
圆的方程(fāngchéng)：
球面(qiúmiàn)的方程：
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第三十四页，共53页。
解
原结论(jiélùn)成立.
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解
设P点坐标(zuòbiāo)为
所求点为
练一练
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解
=(a1, a2, a3)
=(a1, 0,0)+(0, a2, 0)+(0, 0, a3)
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第三十七页，共53页。
7. 方向余弦(yúxián)与单位向量的坐标表示
非零向量 与三条坐标轴的正向