文档介绍：第五章 二次型
二次型的概念
化二次型为标准形
正定二次型
§ 二次型的概念
一、二次型及其标准形的概念
二、二次型的表示方法
三、合同矩阵
定义函数 标准形:
求 a, b 及正交矩阵P.
解
f 的矩阵为:
由 f 的标准形可知A的特征值为:
对 1=1,
对 2 = 0,
对 3 = 4,
故所求正交阵为 P = (P1, P2, P3)
二、拉格朗日配方法
用正交变换化二次型为标准形，其特点是
保持几何形状不变．
注：正交变换保持向量的长度不变. (书P136)
问题 有没有其它方法，也可以把二次型化
为标准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有
效的方法——拉格朗日配方法．
1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形;
拉格朗日配方法的步骤
2. 若二次型中不含有平方项，但是
则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
解
例1
含有平方项
去掉配方后多出来的项
所用变换矩阵为
解
例2
由于所给二次型中无平方项，所以
(含有平方项)
再配方，得
(含有平方项)
(下面求变换矩阵)
则变换矩阵为
设可逆变换为x=Cz，
①正交变换得到的实二次型的标准形
对角线元素是实对称阵的特征值;
联系与区分：
且标准形在不计特征值顺序时是唯一的.
②可逆线性变换得到的实二次型的标准形
对角线元素不一定是实对称阵的特征值,
标准形也不唯一.
可逆，
但
根不为1
§ 正定二次型
一、惯性定理
二、正(负)定二次型的概念
三、正(负)定二次型的判别
一个实二次型, 既可以通过正交变换法化为标
准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形.
用不同的方法其标准形的表达式一般来说是不同的, 但标准形中所含有的项数是确定的,其项数等于二次型的秩, 而且正系数的项数和负系数的项数也分别相等.
实二次型的这个性质常称为惯性定理
下面我们限定所用的变换为实变换, 来研究二次型的标准形所具有的性质.
一、惯性定理
. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过
可逆线性变换将其化为标准形
f = k1 y12 + …+ kn yn2
其中k1, …, kn中非零的个数r =秩( f ),
且正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)
都是在可逆线性变换下的不变量.
f(或A)的正惯性指数
f(或A)的负惯性指数
正交变换呢?
若二次型 f 的秩为r,正惯性指数为 p , 则f 的规范形为:
二、正(负)定二次型的概念
设有二次型 f = xTAx, 若对任何非零向量 x 0, 都有 f (x)>0 (显然有 f (0 )=0),
则称 f 为正定二次型 ,
并称对称阵 A 是正定的.
(或称 A 是正定阵).
若对任何 x 0, 都有 f (x)<0 ,则称 f 为负定二次型 ,并称对称阵 A 是负定的. (或称 A 是负定阵).
f 为正定二次型.
例如:
则 f 不为正定二次型.
注意
例1 设 A, B 均为正定阵, 证明 A+B 亦为正定阵.
30
练****14:
144页 提高题3
158-159页：
一2 二9
三12; 14; 16
三、正(负)定二次型的判别
实二次型 f = xTAx 为正定的充要条件是:
其标准形的 n 个系数全为正,即正惯性指数为 n .
证明
设可逆变换 x = Cy 使
充分性
即 f = xTAx 为正定二次型 .
必要性
假设有 ks 0,
则当 y = es =(0,,0,1,0,,0)T 时,
(第s个分量为1, 其它为0)
这与 f 正定矛盾.
命题得证.
三、正(负)定二次型的判别
实二次型 f = xTAx 为正定的充要条件是:
其标准形的 n 个系数全为正,即正惯性指数为 n .
二次型 f = xTAx 为正定等价于其矩阵 A 为正定.
故判别二次型 f = xTAx 是否正定亦可转化为判别其矩阵 A是否正定.
推论1 对称阵 A 正定的充要条件是 A 的特征值全为正.
推论2 对