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导数专题
一、导数的基本应用
〔一〕研究含参数的函数的单调性、极值和最值
基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值
基本方法： 一般通法：利用导函数研究法
特殊方法：〔1
〔Ⅱ〕证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解：〔Ⅰ〕方程可化为，当时，；
又，于是，解得， 故
〔Ⅱ〕设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，即
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值6.
二、导数应用的变式与转化
〔一〕函数的零点存在与分布问题
问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围
基本方法： 通性通法：函数最值控制法
特殊方法：〔1〕二次函数判别式法；〔2〕零点存在性定理
第一组 二次函数
本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；
此题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；
研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值〔最值〕控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫.
【例题7】设函数．
〔1〕略；〔2〕假设方程有且仅有一个实根，求的取值范围.
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解：因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
点评：此题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.
【例题8】已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
〔1〕假设曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；
〔2〕如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
解：〔1〕设，则；
又的图像与直线平行 ，解得
又在取极小值，∴，解得
，解得；所以，
设，则
,解得；
〔2〕由，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
假设，，有两个零点；
假设，，有两个零点；
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当时，方程有一解，即,有一零点
点评：
此题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；
第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题.
【例题9】已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：假设 , ,显然函数在上没有零点.
假设，令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或，综上，所求实数的取值范围是或.
点评：此题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题.
【例题10】已知函数 ．
〔II〕假设函数在区间上不单调，求的取值范围．
解：〔Ⅱ〕函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
，即：
整理得：，解得
第二组 三次函数
本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；
此题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；
本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解.
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【例题11】已知函数
〔I〕求的单调区间；
〔II〕假设在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，
求m的取值范围.
解：〔1〕
当时，对，有所以的单调增区间为
当时，由解得或，由解得，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
〔2〕因为在处取得极大值，
所以
所以
由解得.
由〔1〕中的单调性可知，
在处取得极大值1，在处取得极小值-3.
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，
所以的取值范围是.
点评：
此题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；
此题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值〔最值〕控制法；
在