文档介绍：第二节第二节凸函数和凸规划凸函数和凸规划?凸函数及其性质?凸规划及其性质对于定义在凸集上的凸函数,其极小点就是最小点,极小值就是最小值。集合S 称为凸集,如果S中任两点的连线内的点都在集合S内。证明一集合是否为凸集的方法为,假设X1,X2在此集合中,则有任意a(0<a<1)使得aX1+(1-a)X2属于该集合. x1X21. 凸函数及其性质(a) 凸函数(b)凹函数f(X)f(X)XXf(Xf(X11))f(Xf(X22))XX11XX22f(X)f(X)XXff(X(X11))ff(X(X22))XX11XX22ααxx11+(1-+(1-αα)x)x22ff((ααxx11+(1-+(1-αα)x)x2 2 ))f(X)f(X)XXααff( x( x1 1 ))+(1- +(1- αα) f( x) f( x22))f(Xf(X11))f(Xf(X22))XX11XX22ααxx11+(1-+(1-αα)x)x22ff((ααxx11+(1-+(1-αα)x)x2 2 ))f(X)f(X)XXf(Xf(X11))f(Xf(X22))XX11XX22任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方ααxx11+(1-+(1-αα)x)x22ff((ααxx11+(1-+(1-αα)x)x2 2 ))ααff( x( x1 1 ))+(1- +(1- αα) f( x) f( x22))?凸函数的基本运算性质证明:1 2 1 2 1 21 2 1221 2S, ( , ), ) , ( ) , ,S(1 )0,1) ,( (1 ) ) ) (1 ) ( )(1))(,,SSSS1ax + (1 - a)xx x H f cx x H f c x c f x c x xff x x f x f xc c c??? ???? ??? ? ???????? ? ???? ?????? ? ??有f( 且,是凸集,(,有而是上的是凸函,(