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线性代数知识点总结
第一章 行列式
二三阶行列式
阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
aij
n
(1)(j1j2..jn)a1j
a2j
2
...或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；行列式行数列数一样， 矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，
就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(kaij)n
k(aij)n，行列式
kaij
n
knaij
n
逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I
则A与B一定互逆；
③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若
A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的
运算律：
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且
(A1)1
A
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且
(kA)1
1A1
k
3、可逆矩阵A的转置AT
也是可逆的，且(AT)1
(A1)T
4、两个可逆矩阵
A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)1
B1A1
但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但(AB)
A1
B1
A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆，则A1
1
A
伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：
A
A
（代数余子式）
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A*
11
12
A21
A22
特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）
A
B
1
1
1
1、分块矩阵D
A
ABC
O
则D1
C
O
C1
A1
A1
1
A2
1
2、准对角矩阵A
，则A1
A2
A3
1
A3
1
A4
A4
3、AA*
A*A
AI
4、A*
AA1
（A可逆）
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5、A*
A
n1
6、A*
1
A1
*
1
A（A可逆）
A
7、A*T
AT*
8、AB*
B*A*
判断矩阵是否可逆
：充要条件是A
0，此时A11A*
A
求逆矩阵的方法：
定义法AA1
I
伴随矩阵法A1
A*
A
初等变换法
A|In
In|A1
只能是行变换
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初等矩阵与矩阵乘法的关系
：
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设A
a
ij
m*n
是
m*n
阶矩阵，则对
A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等
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于用同等的 m阶初等矩阵左乘以 A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种
n阶初等矩阵右乘以 A （行变左乘，列变右乘 ）
第三章 线性方程组
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消元法
非齐次线性方程组 ：增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；