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线性代数知识点总结
第一章 行列式
二三阶行列式
阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
aij
n
(1)(j1j2..jn)a1j
a2j
2
...或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别:
都是数表;行列式行数列数一样, 矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,
就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵(kaij)n
k(aij)n,行列式
kaij
n
knaij
n
逆矩阵注:①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I
则A与B一定互逆;
③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若
A可逆,则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的
运算律:
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的,且
(A1)1
A
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的,且
(kA)1
1A1
k
3、可逆矩阵A的转置AT
也是可逆的,且(AT)1
(A1)T
4、两个可逆矩阵
A与B的乘积AB也是可逆的,且(AB)1
B1A1
但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆,即使可逆,但(AB)
A1
B1
A为N阶方阵,若|A|=0,则称A为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆,则A1
1
A
伴随矩阵:A为N阶方阵,伴随矩阵:
A
A
(代数余子式)
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A*
11
12
A21
A22
特殊矩阵的逆矩阵:(对1和2,前提是每个矩阵都可逆)
A
B
1
1
1
1、分块矩阵D
A
ABC
O
则D1
C
O
C1
A1
A1
1
A2
1
2、准对角矩阵A
,则A1
A2
A3
1
A3
1
A4
A4
3、AA*
A*A
AI
4、A*
AA1
(A可逆)
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5、A*
A
n1
6、A*
1
A1
*
1
A(A可逆)
A
7、A*T
AT*
8、AB*
B*A*
判断矩阵是否可逆
:充要条件是A
0,此时A11A*
A
求逆矩阵的方法:
定义法AA1
I
伴随矩阵法A1
A*
A
初等变换法
A|In
In|A1
只能是行变换
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初等矩阵与矩阵乘法的关系


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设A

a

ij

m*n



m*n

阶矩阵,则对

A的行实行一次初等变换得到的矩阵,等
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于用同等的 m阶初等矩阵左乘以 A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种
n阶初等矩阵右乘以 A (行变左乘,列变右乘 )
第三章 线性方程组
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消元法

非齐次线性方程组 :增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n时,有唯一解;

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