文档介绍：1
第三章 空间向量与立体几何
2
用空间向量解决立体几何问题的步骤：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（21
第三章 空间向量与立体几何
2
用空间向量解决立体几何问题的步骤：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
3
一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。
4
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析:
分析:
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
5
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析：面面距离
点面距离
解：
∴ 所求的距离是
问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
6
向量法求点到平面的距离：
P
A
如图，已知点P（x0,y0,z0）,
在平面 内任意取一点A（x1,y1,z1），
一个法向量
其中
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
7
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
8
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
9
甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 ．求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
于是，得
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
A
B
C
D
所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
10
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
例 4
11
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
z
x
y
12
F1
F2
F3
A
C
B
O
500kg
z
x
y
13
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
例 5
14
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
15
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
16
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
G
17
18
谢谢
制作 冯健璇
19