文档介绍：第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容：
1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标；
会求两组基的过渡矩阵
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例 1 实数域 上的线性空间
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正整数 使得 ，证明： 与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。
证明：设 的Jordan标准形为
2-5 设 为数域 上的 阶方阵且存在
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即有可逆矩阵 使得
由于 ，所以有
从而有
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因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式
才成立，这样有 ，这表明 为对角矩
阵，所以 与对角矩阵相似。
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2-6 设 为数域 上的 阶方阵且满足
，证明： 与对角矩阵
相似。
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即有可逆矩阵 使得
由于 ，所以有
证明：设 的Jordan标准形为
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从而 即
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因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有
这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵
此矩阵仍然与 相似。
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第三章 内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵
主要掌握以下内容：
1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；
2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；
3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；
4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：
酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩
阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半
正定矩阵
5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵
的关系：
酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对
称变换、正规变换、正定二次齐次
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3-17 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 与 的特征值实部为零.
证明: 设 为矩阵的任意一个特征值, 那么有 . 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得
将其代入上面的特征多项式有
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这说明 也是矩阵 的特征值. 另一方面注意矩阵 为H-反阵, 从而 实部为零.
同样可以证明另一问.
编辑ppt<br****题3-19 设 是一个半正定的H-阵且 证明:
证明: 设 为 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以所有的 .而且由于
，一定存在某个特征值大于0，于是有
编辑ppt<br****题3-20 设 是一个半正定的H-阵且
是一个正定的H-阵, 证明:
证明: 由于 是一个正定的H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得
这样有
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注意矩阵
仍然是一个半正定的H-阵, 有上面的例题可知
从而
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3-21 设 是一个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则
证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以必存在
酉矩阵 使得
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由于 又是酉矩阵, 所以
这样必有 , 从而
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3-22 证明：
（1） 半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;
（2） 半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;
证明：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为