文档介绍：§
第二课时
如果a，b∈R，
那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”）
复****br/>：
如果a, b∈R+，那么
（当且仅当a=b时，取“=”）
例1、已§
第二课时
如果a，b∈R，
那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”）
复****br/>：
如果a, b∈R+，那么
（当且仅当a=b时，取“=”）
例1、已知 x、y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，则和x+y 有最小值 。
（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，则积xy 有最大值 。
探究（一）利用基本不等式求最值
结论1：两个正数和为定值，则积有最大值；
结论2：两个正数积为定值，则和有最小值。
例2.
变式1.
变式2.
应用二：解决最大（小）值问题
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误。即等号成立的条件一定存在。
说明：利用 求最值时要注意
下面三条：
应用基本不等式求最值的条件：
“一正、二定、三相等”
（1）一正：各项均为正数；
(2)代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数．若不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可求出最大值或最小值．
(3)利用基本不等式求最值时，必须保证“＝”能取到．若取不到等号，必须经过适当的变形，使之能取到等号．
(4)多次使用基本不等式时，由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解．
（5）“拆”“并”“配”三招解决基本不等式求最值问题
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(2)并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．但应注意“=”成立的条件应一致。
(1)拆——裂项拆项（加“0”变换）对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离（拿下法）——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
[注意] ①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到；②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值．取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法.
(3)配——配式配系数（乘“1”变换）
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
例3
若x<0呢？
课本P100T1
变式1：已知x>1,求 的最小值；
解：
思考：取到最值时x的值呢？
x=2
说明：凑项：使积成为定值,（加“0”变换）
变式2：
解：函数y = 4x – 2 + = (4x – 5) + + 3，
因为x < ，所以4x < 5，即4x – 5 < 0，
所以(4x – 5) + ≤ = －2，
当且仅当(4x – 5) = ，(4x – 5)2= 1，
4x – 5 = – 1，即x = 1时取等号，
即y的最大值是1（当且仅当x = 1时取到）
例4、已知：0＜x＜
，求函数y=x(1-3x)的最大值.
分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，利用二次函数求某一区间的最值.
∵0＜x＜
，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
3x（1-3x）≤
可用均值不等式法
分析二、挖掘隐含条件
解：∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜
，则1-3x＞0；
当且仅当 3x=1-3x,
即x=
时 ymax=
例5、若实数a、b满足a+b=2，求3a+3b的最小值。
例6、
（3）解：f(x)=4a+2b=22a+2b≥
当且仅当2a=b，即a= ，b=1时取到等号。